Номер 897, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 897, страница 201.

897. При каких значениях b уравнение $x^2 - 6bx + 9b^2 - 16 = 0$ имеет два отрицательных корня?

Рассмотрим данное уравнение: $x^2 - 6bx + 9b^2 - 16 = 0$.

Можно заметить, что первые три слагаемых в левой части уравнения представляют собой полный квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot (3b) + (3b)^2 = (x - 3b)^2$.

Перепишем исходное уравнение, используя эту формулу:

$(x - 3b)^2 - 16 = 0$

Это уравнение легко решить относительно $x$. Перенесем 16 в правую часть:

$(x - 3b)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x - 3b = \pm 4$

Теперь выразим $x$, чтобы найти корни уравнения:

$x = 3b \pm 4$

Таким образом, мы получили два корня уравнения:

$x_1 = 3b - 4$ и $x_2 = 3b + 4$.

Согласно условию задачи, оба корня должны быть отрицательными. Это значит, что должны одновременно выполняться два неравенства: $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$.

Подставим выражения для корней и решим полученные неравенства.

Первое неравенство: $3b - 4 < 0$.

Решаем его: $3b < 4$, откуда $b < \frac{4}{3}$.

Второе неравенство: $3b + 4 < 0$.

Решаем его: $3b < -4$, откуда $b < -\frac{4}{3}$.

Оба условия должны выполняться одновременно. Следовательно, мы ищем пересечение множеств решений этих двух неравенств: $b < \frac{4}{3}$ и $b < -\frac{4}{3}$.

Если число меньше, чем $-\frac{4}{3}$, то оно заведомо будет меньше, чем $\frac{4}{3}$. Поэтому общее решение для системы неравенств — это $b < -\frac{4}{3}$.

Ответ: уравнение имеет два отрицательных корня при $b < -\frac{4}{3}$.