Номер 904, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 904, страница 202.

904. Велосипедист проехал 20 км по дороге, ведущей в гору, и 60 км по ровной местности, затратив на весь путь 6 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке пути, если известно, что в гору он ехал со скоростью, на 5 км/ч меньшей, чем по ровной местности?

Пусть скорость велосипедиста по ровной местности равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость велосипедиста в гору была на 5 км/ч меньше, следовательно, она равна $(x - 5)$ км/ч.

Время движения можно вычислить по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Время, которое велосипедист ехал в гору, составляет: $t_1 = \frac{20}{x - 5}$ ч.

Время, которое велосипедист ехал по ровной местности, составляет: $t_2 = \frac{60}{x}$ ч.

Общее время в пути равно 6 часов, поэтому можно составить уравнение:

$t_1 + t_2 = 6$

$\frac{20}{x - 5} + \frac{60}{x} = 6$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $x \ne 0$ и $x - 5 \ne 0$. Поскольку скорость не может быть отрицательной, а скорость в гору должна быть положительной, получаем условие $x > 5$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x - 5)$:

$\frac{20x + 60(x - 5)}{x(x - 5)} = 6$

Умножим обе части уравнения на $x(x - 5)$, чтобы избавиться от дроби:

$20x + 60(x - 5) = 6x(x - 5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$20x + 60x - 300 = 6x^2 - 30x$

$80x - 300 = 6x^2 - 30x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6x^2 - 30x - 80x + 300 = 0$

$6x^2 - 110x + 300 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$3x^2 - 55x + 150 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 150 = 3025 - 1800 = 1225$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{55 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 3} = \frac{55 + 35}{6} = \frac{90}{6} = 15$

$x_2 = \frac{55 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 3} = \frac{55 - 35}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x > 5$.

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию ($15 > 5$).

Корень $x_2 = \frac{10}{3} \approx 3.33$ не удовлетворяет условию ($3.33 < 5$), так как при такой скорости по ровной местности скорость в гору $(x-5)$ была бы отрицательной, что физически невозможно. Этот корень является посторонним.

Следовательно, скорость велосипедиста по ровной местности составляет $15$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста в гору:

$x - 5 = 15 - 5 = 10$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста в гору — 10 км/ч, скорость по ровной местности — 15 км/ч.