Номер 907, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Доказательство неравенств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 907, страница 205.

907. Докажите, что при $a > 0$ и $b > 0$ верно неравенство:

а) $(a + b)(ab + 16) \ge 16ab;$

б) $(a^2 + 4b)(4b + 25) \ge 80ab.$

а)

Для доказательства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ оно утверждает, что $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

По условию задачи $a > 0$ и $b > 0$, поэтому все слагаемые в скобках положительны.

Применим неравенство Коши к каждому из сомножителей в левой части доказываемого неравенства:

1. Для первого сомножителя $(a+b)$ имеем:
$a + b \ge 2\sqrt{ab}$

2. Для второго сомножителя $(ab+16)$ имеем:
$ab + 16 \ge 2\sqrt{ab \cdot 16} = 2\sqrt{16ab} = 2 \cdot 4\sqrt{ab} = 8\sqrt{ab}$

Поскольку все части полученных неравенств положительны, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства сохранится:

$(a + b)(ab + 16) \ge (2\sqrt{ab}) \cdot (8\sqrt{ab})$

Упростим правую часть полученного неравенства:

$(2\sqrt{ab}) \cdot (8\sqrt{ab}) = 16 \cdot (\sqrt{ab})^2 = 16ab$

Таким образом, мы получаем $(a + b)(ab + 16) \ge 16ab$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Для доказательства этого неравенства также воспользуемся неравенством Коши: $x+y \ge 2\sqrt{xy}$ для $x \ge 0, y \ge 0$.

По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, все слагаемые в скобках, такие как $a^2$, $4b$ и $25$, являются положительными числами.

Применим неравенство Коши к каждому из сомножителей:

1. Для первого сомножителя $(a^2 + 4b)$ имеем:
$a^2 + 4b \ge 2\sqrt{a^2 \cdot 4b} = 2\sqrt{4a^2b} = 2 \cdot 2a\sqrt{b} = 4a\sqrt{b}$

2. Для второго сомножителя $(4b + 25)$ имеем:
$4b + 25 \ge 2\sqrt{4b \cdot 25} = 2\sqrt{100b} = 2 \cdot 10\sqrt{b} = 20\sqrt{b}$

Перемножим левые и правые части полученных верных неравенств. Так как все части положительны, знак неравенства не изменится:

$(a^2 + 4b)(4b + 25) \ge (4a\sqrt{b}) \cdot (20\sqrt{b})$

Преобразуем правую часть произведения:

$(4a\sqrt{b}) \cdot (20\sqrt{b}) = 80a \cdot (\sqrt{b})^2 = 80ab$

Следовательно, мы доказали, что $(a^2 + 4b)(4b + 25) \ge 80ab$.

Ответ: Неравенство доказано.