Номер 905, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Доказательство неравенств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 905, страница 205.

905. Докажите неравенство:

a) $a^2 + b^2 + 4 \geq 2(a + b + 1)$;

б) $4a^2 + b^2 > 4(a + b - 2).$

а) Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 + 4 \geq 2(a + b + 1)$ преобразуем его. Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 + b^2 + 4 - 2(a + b + 1) \geq 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + b^2 + 4 - 2a - 2b - 2 \geq 0$

$a^2 - 2a + b^2 - 2b + 2 \geq 0$

Чтобы выделить полные квадраты, сгруппируем слагаемые и представим число 2 в виде суммы $1 + 1$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \geq 0$

Теперь свернем выражения в скобках, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, $(a - 1)^2 \geq 0$ и $(b - 1)^2 \geq 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Таким образом, полученное неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, а значит, и исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $4a^2 + b^2 > 4(a + b - 2)$ преобразуем его. Перенесем все члены в левую часть:

$4a^2 + b^2 - 4(a + b - 2) > 0$

Раскроем скобки:

$4a^2 + b^2 - 4a - 4b + 8 > 0$

Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов. Для этого представим число 8 в виде суммы $1 + 4 + 3$:

$(4a^2 - 4a + 1) + (b^2 - 4b + 4) + 3 > 0$

Свернем группы слагаемых в полные квадраты по формуле квадрата разности:

$(2a - 1)^2 + (b - 2)^2 + 3 > 0$

Выражения $(2a - 1)^2$ и $(b - 2)^2$ как квадраты действительных чисел всегда неотрицательны, то есть $(2a - 1)^2 \geq 0$ и $(b - 2)^2 \geq 0$. Их сумма также неотрицательна: $(2a - 1)^2 + (b - 2)^2 \geq 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 3, результат будет не меньше 3: $(2a - 1)^2 + (b - 2)^2 + 3 \geq 3$. Поскольку $3 > 0$, левая часть неравенства всегда строго больше нуля. Следовательно, неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано.