Номер 912, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Доказательство неравенств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 912, страница 206.

912. Докажите, что если $x + y + z = 1$, то $\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} \le 5$.

Для доказательства данного утверждения мы сначала установим вспомогательное неравенство для одного переменного, а затем воспользуемся им для решения задачи.

Рассмотрим неравенство $\sqrt{4t+1} \le 2t+1$.

Область допустимых значений для этого неравенства определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $4t+1 \ge 0$, откуда $t \ge -1/4$.

При $t \ge -1/4$ правая часть неравенства, $2t+1$, также является неотрицательной, поскольку $2t \ge -1/2$, и, следовательно, $2t+1 \ge 1/2 > 0$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны при $t \ge -1/4$, мы имеем право возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(\sqrt{4t+1})^2 \le (2t+1)^2$

Раскроем скобки:

$4t+1 \le 4t^2 + 4t + 1$

Вычтем из обеих частей $4t+1$:

$0 \le 4t^2$

Данное неравенство является верным для любого действительного числа $t$, а значит, оно справедливо и для всех $t$ из нашей области допустимых значений. Таким образом, мы доказали, что неравенство $\sqrt{4t+1} \le 2t+1$ выполняется для всех $t \ge -1/4$. Равенство достигается при $t=0$.

Теперь вернемся к исходной задаче. Условие, что $x+y+z=1$, подразумевает, что переменные $x, y, z$ могут принимать значения, для которых выражения под корнями определены (т.е. $x, y, z \ge -1/4$).

Применим доказанное нами вспомогательное неравенство для каждой из переменных $x, y, z$:

$\sqrt{4x+1} \le 2x+1$

$\sqrt{4y+1} \le 2y+1$

$\sqrt{4z+1} \le 2z+1$

Сложим эти три верных неравенства:

$\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \le (2x+1) + (2y+1) + (2z+1)$

Сгруппируем слагаемые в правой части полученного неравенства:

$\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \le 2x+2y+2z+3$

$\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \le 2(x+y+z) + 3$

По условию задачи, сумма $x+y+z = 1$. Подставим это значение в правую часть:

$\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \le 2(1) + 3$

$\sqrt{4x+1} + \sqrt{4y+1} + \sqrt{4z+1} \le 5$

Таким образом, мы доказали исходное утверждение. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.