Номер 917, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 917, страница 206.

917. Верно ли неравенство:

а) $\sqrt{7} + 2\sqrt{5} < 2 + \sqrt{35};$

б) $4\sqrt{6} + 2 > 2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}?$

а)

Чтобы проверить верность неравенства $\sqrt{7} + 2\sqrt{5} < 2 + \sqrt{35}$, выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\sqrt{7} + 2\sqrt{5} - 2 - \sqrt{35} < 0$

Заметим, что $\sqrt{35} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$. Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(\sqrt{7} - 2) + (2\sqrt{5} - \sqrt{35}) < 0$

Вынесем общий множитель из второй скобки. Для этого представим $2\sqrt{5}$ как $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5}$ и $\sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7}$:

$(\sqrt{7} - 2) + (\sqrt{4 \cdot 5} - \sqrt{5 \cdot 7}) < 0$

$(\sqrt{7} - 2) + \sqrt{5}(2 - \sqrt{7}) < 0$

Чтобы получить общий множитель, изменим знак перед второй скобкой:

$(\sqrt{7} - 2) - \sqrt{5}(\sqrt{7} - 2) < 0$

Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt{7} - 2)$ за скобки:

$(\sqrt{7} - 2)(1 - \sqrt{5}) < 0$

Оценим знак каждого из полученных множителей:

• Первый множитель: $\sqrt{7} - 2$. Так как $7 > 4$, то $\sqrt{7} > \sqrt{4}$, то есть $\sqrt{7} > 2$. Следовательно, разность $\sqrt{7} - 2$ положительна.
• Второй множитель: $1 - \sqrt{5}$. Так как $1 < 5$, то $\sqrt{1} < \sqrt{5}$, то есть $1 < \sqrt{5}$. Следовательно, разность $1 - \sqrt{5}$ отрицательна.

Произведение положительного числа на отрицательное является отрицательным числом. Таким образом, неравенство $(\sqrt{7} - 2)(1 - \sqrt{5}) < 0$ является верным.

Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно.

Ответ: неравенство верно.

б)

Чтобы проверить верность неравенства $4\sqrt{6} + 2 > 2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}$, выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$4\sqrt{6} + 2 - 2\sqrt{3} - 4\sqrt{2} > 0$

Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$. Сгруппируем слагаемые:

$(4\sqrt{2}\sqrt{3} - 4\sqrt{2}) + (2 - 2\sqrt{3}) > 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$4\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) + 2(1 - \sqrt{3}) > 0$

Чтобы получить общий множитель, изменим знак во второй группе слагаемых:

$4\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) - 2(\sqrt{3} - 1) > 0$

Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt{3} - 1)$ за скобки:

$(4\sqrt{2} - 2)(\sqrt{3} - 1) > 0$

Оценим знак каждого из полученных множителей:

• Первый множитель: $4\sqrt{2} - 2$. Сравним $4\sqrt{2}$ и $2$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ и $2^2 = 4$. Так как $32 > 4$, то $4\sqrt{2} > 2$. Следовательно, разность $4\sqrt{2} - 2$ положительна.
• Второй множитель: $\sqrt{3} - 1$. Так как $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{3} > 1$. Следовательно, разность $\sqrt{3} - 1$ положительна.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом. Таким образом, неравенство $(4\sqrt{2} - 2)(\sqrt{3} - 1) > 0$ является верным.

Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно.

Ответ: неравенство верно.