Номер 919, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 919, страница 206.

919. а) Докажите, что при $a > 3$ значение выражения

$(\frac{a - 3}{a + 3} - \frac{a + 3}{a - 3})(1 + \frac{3}{a})$

отрицательно.

б) Докажите, что при $y > 1$ значение выражения

$\frac{y^2 + 3}{y - 1} - \frac{2}{y} : \left(\frac{1}{y^2 - y} + \frac{y - 3}{y^2 - 1}\right)$

положительно.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения отрицательно при $a > 3$, упростим его по действиям.

1. Выполним вычитание в первых скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(a+3)(a-3) = a^2-9$.

$\left(\frac{a-3}{a+3} - \frac{a+3}{a-3}\right) = \frac{(a-3)(a-3) - (a+3)(a+3)}{(a+3)(a-3)} = \frac{(a-3)^2 - (a+3)^2}{a^2-9}$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для числителя:

$\frac{((a-3)-(a+3))((a-3)+(a+3))}{a^2-9} = \frac{(a-3-a-3)(a-3+a+3)}{a^2-9} = \frac{(-6)(2a)}{a^2-9} = \frac{-12a}{a^2-9}$

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$1 + \frac{3}{a} = \frac{a}{a} + \frac{3}{a} = \frac{a+3}{a}$

3. Перемножим результаты, полученные в шагах 1 и 2:

$\frac{-12a}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a} = \frac{-12a}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{a}$

Сократим общие множители $a$ и $(a+3)$. Это возможно, так как по условию $a > 3$, что означает $a \neq 0$ и $a+3 \neq 0$.

$\frac{-12}{a-3}$

4. Теперь проанализируем знак полученного выражения при $a > 3$.

Числитель дроби равен $-12$, то есть он отрицателен.

Если $a > 3$, то разность $a-3$ будет положительной ($a-3 > 0$).

Частное от деления отрицательного числа на положительное всегда является отрицательным числом.

Следовательно, значение выражения $\frac{-12}{a-3}$ отрицательно при $a > 3$, что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение упрощается до $\frac{-12}{a-3}$. Поскольку при $a > 3$ числитель $-12 < 0$, а знаменатель $a-3 > 0$, то значение всего выражения отрицательно.

б)

Чтобы доказать, что значение выражения положительно при $y > 1$, упростим его по действиям.

1. Упростим выражение в первых скобках: $\left(\frac{y^2+3}{y-1} - \frac{2}{y}\right)$.

Общий знаменатель $y(y-1)$:

$\frac{y(y^2+3) - 2(y-1)}{y(y-1)} = \frac{y^3+3y-2y+2}{y(y-1)} = \frac{y^3+y+2}{y(y-1)}$

Разложим числитель $y^3+y+2$ на множители. Можно заметить, что $y=-1$ является корнем многочлена, так как $(-1)^3+(-1)+2 = 0$. Следовательно, многочлен делится на $(y+1)$. Выполнив деление, получаем $y^3+y+2=(y+1)(y^2-y+2)$.

Таким образом, первое выражение равно: $\frac{(y+1)(y^2-y+2)}{y(y-1)}$.

2. Упростим выражение во вторых скобках: $\left(\frac{1}{y^2-y} + \frac{y-3}{y^2-1}\right)$.

Разложим знаменатели на множители: $y^2-y = y(y-1)$ и $y^2-1 = (y-1)(y+1)$.

Общий знаменатель $y(y-1)(y+1)$:

$\frac{1(y+1) + y(y-3)}{y(y-1)(y+1)} = \frac{y+1+y^2-3y}{y(y-1)(y+1)} = \frac{y^2-2y+1}{y(y-1)(y+1)}$

Числитель является полным квадратом $(y-1)^2$.

$\frac{(y-1)^2}{y(y-1)(y+1)}$

Сократим дробь на $(y-1)$, так как по условию $y > 1$, а значит $y-1 \neq 0$:

$\frac{y-1}{y(y+1)}$

3. Выполним деление результатов шагов 1 и 2.

$\frac{(y+1)(y^2-y+2)}{y(y-1)} : \frac{y-1}{y(y+1)} = \frac{(y+1)(y^2-y+2)}{y(y-1)} \cdot \frac{y(y+1)}{y-1}$

Сократим $y$ и перемножим оставшиеся множители:

$\frac{(y+1)(y^2-y+2)(y+1)}{(y-1)(y-1)} = \frac{(y+1)^2(y^2-y+2)}{(y-1)^2}$

4. Проанализируем знак полученного выражения при $y > 1$.

Выражение $(y+1)^2$ всегда положительно, так как $y>1 \Rightarrow y+1 > 2$.

Выражение $(y-1)^2$ в знаменателе также всегда положительно, так как $y>1 \Rightarrow y-1 > 0$.

Рассмотрим знак выражения $y^2-y+2$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $y^2$ положителен (равен 1), то трехчлен $y^2-y+2$ принимает только положительные значения при любом $y$.

В итоге мы имеем частное от произведения положительных чисел, которое всегда положительно: $\frac{(\text{положительное}) \cdot (\text{положительное})}{(\text{положительное})} > 0$.

Следовательно, значение всего выражения положительно при $y > 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение упрощается до $\frac{(y+1)^2(y^2-y+2)}{(y-1)^2}$. При $y > 1$ все множители в числителе и знаменателе являются положительными числами, поэтому значение всего выражения положительно.