Номер 925, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 925, страница 207.

925. Используя выделение из трёхчлена квадрата двучлена, докажите неравенство:

а) $a^2 + ab + b^2 \ge 0;$

б) $a^2 - ab + b^2 \ge 0.$

а)

Требуется доказать неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат. Для этого представим слагаемое $ab$ как удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot \frac{b}{2}$.

$a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + b^2$

Для получения полного квадрата по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, нам необходимо слагаемое $(\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$. Добавим и вычтем это слагаемое, чтобы не изменить выражение:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b^2}{4}) - (\frac{b^2}{4}) + b^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат суммы $(a + \frac{b}{2})^2$.

$(a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \frac{b^2}{4}) + (b^2 - \frac{b^2}{4}) = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{4b^2 - b^2}{4} = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$

Таким образом, мы преобразовали исходный трёхчлен в сумму двух выражений:

$a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$

Проанализируем полученную сумму:

1. Первое слагаемое $(a + \frac{b}{2})^2$ является квадратом действительного числа, следовательно, оно всегда неотрицательно: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$ при любых $a$ и $b$.

2. Второе слагаемое $\frac{3}{4}b^2$ является произведением положительного числа $\frac{3}{4}$ и квадрата числа $b^2$. Так как $b^2 \ge 0$, то и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$ при любом $b$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Значит:

$(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$

Следовательно, исходное неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ справедливо для любых действительных чисел $a$ и $b$. Равенство нулю достигается только тогда, когда оба слагаемых равны нулю одновременно, то есть при $b=0$ и $a=0$.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Требуется доказать неравенство $a^2 - ab + b^2 \ge 0$.

Действуем аналогично предыдущему пункту, выделяя полный квадрат. На этот раз будем использовать формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим $ab$ как $2 \cdot a \cdot \frac{b}{2}$.

$a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + b^2$

Добавим и вычтем слагаемое $(\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4} + b^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют квадрат разности $(a - \frac{b}{2})^2$:

$(a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \frac{b^2}{4}) + (b^2 - \frac{b^2}{4}) = (a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$

Таким образом, мы получили:

$a^2 - ab + b^2 = (a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$

Проанализируем полученную сумму:

1. Первое слагаемое $(a - \frac{b}{2})^2$ — это квадрат числа, поэтому $(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ при любых $a$ и $b$.

2. Второе слагаемое $\frac{3}{4}b^2$ также неотрицательно, $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$ при любом $b$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Значит:

$(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$

Следовательно, исходное неравенство $a^2 - ab + b^2 \ge 0$ справедливо для любых действительных чисел $a$ и $b$. Равенство нулю достигается только при $a=0$ и $b=0$.

Ответ: Неравенство доказано.