Номер 928, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 928, страница 208.

928. Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если $a$ — наибольшее число в пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, где $a, b, c, d$ — положительные числа, то верно неравенство $a + d > b + c$.

По условию задачи даны четыре положительных числа $a, b, c, d$, которые образуют пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Также известно, что $a$ — наибольшее из этих чисел, то есть $a > b$, $a > c$ и $a > d$. Требуется доказать неравенство $a + d > b + c$.

Для доказательства преобразуем исходное неравенство $a + d > b + c$ в эквивалентное. Для этого воспользуемся данной пропорцией. Из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ выразим $c$. Так как $b, d$ положительны, можно записать $c = \frac{ad}{b}$. Подставим это выражение в доказываемое неравенство:
$a + d > b + \frac{ad}{b}$

Поскольку $b$ — положительное число, умножим обе части неравенства на $b$. Знак неравенства при этом не изменится:
$b(a + d) > b(b + \frac{ad}{b})$
$ab + bd > b^2 + ad$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их:
$ab + bd - b^2 - ad > 0$
$(ab - ad) + (bd - b^2) > 0$
$a(b - d) - b(b - d) > 0$

Вынесем за скобки общий множитель $(b - d)$:
$(a - b)(b - d) > 0$

Мы преобразовали исходное неравенство в эквивалентное ему неравенство $(a - b)(b - d) > 0$. Докажем, что оно истинно, исходя из условий задачи. Для этого нужно определить знаки множителей $(a - b)$ и $(b - d)$.

1. Знак множителя $(a - b)$. По условию, $a$ — наибольшее число. Следовательно, $a > b$, а значит разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.

2. Знак множителя $(b - d)$. Чтобы определить знак этой разности, снова обратимся к пропорции. Из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ можно получить (так как $c > 0$) пропорцию $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. По условию, $a > c$. Разделив обе части этого неравенства на положительное число $c$, получим $\frac{a}{c} > 1$. Так как $\frac{b}{d} = \frac{a}{c}$, то и $\frac{b}{d} > 1$. Умножив обе части неравенства $\frac{b}{d} > 1$ на положительное число $d$, получим $b > d$. Следовательно, разность $b - d$ также является положительным числом: $b - d > 0$.

Таким образом, мы имеем произведение двух положительных чисел $(a - b)$ и $(b - d)$. Их произведение также положительно: $(a - b)(b - d) > 0$.

Поскольку неравенство $(a - b)(b - d) > 0$ истинно, а все наши преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a + d > b + c$ является истинным, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $a + d > b + c$ доказано.