Номер 924, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 924, страница 207.

924. Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.

Для сравнения площади квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр, введем обозначения и выполним математические выкладки.

Пусть $P$ — общий периметр для обеих фигур.

Для квадрата со стороной $a$ периметр равен $P = 4a$. Отсюда можно выразить сторону квадрата через периметр: $a = \frac{P}{4}$. Площадь квадрата, обозначим ее $S_{кв}$, вычисляется как $S_{кв} = a^2 = (\frac{P}{4})^2 = \frac{P^2}{16}$.

Для произвольного прямоугольника со сторонами $l$ и $w$ периметр равен $P = 2(l+w)$. Из этой формулы получаем, что сумма сторон $l+w = \frac{P}{2}$. Площадь прямоугольника, обозначим ее $S_{пр}$, равна произведению его сторон: $S_{пр} = l \cdot w$.

Теперь необходимо сравнить величины $S_{кв} = \frac{P^2}{16}$ и $S_{пр} = l \cdot w$. Для этого воспользуемся известным математическим фактом — неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел (в нашем случае, длин сторон $l$ и $w$) оно утверждает, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:

$\frac{l+w}{2} \geq \sqrt{l \cdot w}$

Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда $l = w$, то есть когда прямоугольник является квадратом.

Подставим в это неравенство известные нам выражения через периметр $P$ и площадь $S_{пр}$:

$\frac{P/2}{2} \geq \sqrt{S_{пр}}$

Упростим левую часть:

$\frac{P}{4} \geq \sqrt{S_{пр}}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(\frac{P}{4})^2 \geq S_{пр}$

$\frac{P^2}{16} \geq S_{пр}$

Поскольку ранее мы установили, что $S_{кв} = \frac{P^2}{16}$, мы можем сделать окончательный вывод:

$S_{кв} \geq S_{пр}$

Таким образом, площадь квадрата всегда больше или равна площади прямоугольника с тем же самым периметром. Равенство площадей достигается только в том случае, когда прямоугольник сам является квадратом. Если же прямоугольник не является квадратом, его площадь будет строго меньше площади квадрата.

Ответ: Площадь квадрата всегда больше или равна площади произвольного прямоугольника с тем же периметром. Из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.