Номер 918, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 918, страница 206.

918. Докажите неравенство:

a) $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b);$

б) $a^2 + b^2 + c^2 + 5 > 2(a + b + c).$

а) $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b)$

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 + b^2 + 2 - 2(a + b) \ge 0$

Раскроем скобки в правой части исходного неравенства и перенесем слагаемые:

$a^2 + b^2 + 2 - 2a - 2b \ge 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Для этого представим число 2 как сумму $1 + 1$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Теперь свернем выражения в скобках, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Полученное неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$. Квадрат любого числа, $(a - 1)^2$ и $(b - 1)^2$, всегда больше или равен нулю. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) $a^2 + b^2 + c^2 + 5 > 2(a + b + c)$

Аналогично пункту а), перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 + b^2 + c^2 + 5 - 2(a + b + c) > 0$

Раскроем скобки:

$a^2 + b^2 + c^2 + 5 - 2a - 2b - 2c > 0$

Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов. Для этого представим число 5 в виде суммы $1 + 1 + 1 + 2$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) + 2 > 0$

Свернем выражения в скобках по формуле квадрата разности:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2 > 0$

Рассмотрим полученное выражение. Выражения $(a - 1)^2$, $(b - 1)^2$ и $(c - 1)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны (больше или равны нулю):

$(a - 1)^2 \ge 0$

$(b - 1)^2 \ge 0$

$(c - 1)^2 \ge 0$

Следовательно, их сумма также неотрицательна:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \ge 0$

Если к этому неотрицательному выражению прибавить положительное число 2, результат всегда будет строго больше нуля. Минимальное значение левой части равно $0 + 2 = 2$, что больше нуля.

Таким образом, неравенство верно для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.