Номер 922, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 922, страница 207.

922. Велосипедисты Смирнов и Антонов отправились одновременно из посёлка в город и, пробыв в городе одинаковое время, вернулись в посёлок. Смирнов в город и обратно ехал со скоростью $15 \text{ км/ч}$, а Антонов в город ехал со скоростью, на $1 \text{ км/ч}$ большей, чем Смирнов, а возвращался со скоростью, на $1 \text{ км/ч}$ меньшей, чем Смирнов. Кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше?

Для того чтобы определить, кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше, необходимо сравнить их общее время, затраченное на дорогу. Поскольку время, проведённое в городе, было для них одинаковым, его можно не учитывать при сравнении.

Пусть расстояние от посёлка до города равно $S$ км.

Расчет времени в пути для Смирнова

Смирнов ехал и в город, и обратно с постоянной скоростью $v_С = 15$ км/ч. Его общее время в пути $T_С$ складывается из времени на дорогу туда и обратно:

$T_С = \frac{S}{15} + \frac{S}{15} = \frac{2S}{15}$ ч.

Расчет времени в пути для Антонова

Антонов ехал в город со скоростью на 1 км/ч большей, чем у Смирнова: $v_{А1} = 15 + 1 = 16$ км/ч.Обратно он ехал со скоростью на 1 км/ч меньшей: $v_{А2} = 15 - 1 = 14$ км/ч.Его общее время в пути $T_А$ равно:

$T_А = \frac{S}{16} + \frac{S}{14}$ ч.

Сравнение времени в пути

Чтобы сравнить $T_С$ и $T_А$, сначала упростим выражение для $T_А$, приведя дроби к общему знаменателю (наименьшее общее кратное для 16 и 14 равно 112):

$T_А = \frac{7 \cdot S}{112} + \frac{8 \cdot S}{112} = \frac{15S}{112}$ ч.

Теперь сравним полученные значения времени: $T_С = \frac{2S}{15}$ и $T_А = \frac{15S}{112}$. Для этого приведём коэффициенты при $S$ к общему знаменателю ($15 \times 112 = 1680$):

$T_С = \frac{2S}{15} = \frac{2 \cdot 112}{15 \cdot 112}S = \frac{224}{1680}S$

$T_А = \frac{15S}{112} = \frac{15 \cdot 15}{112 \cdot 15}S = \frac{225}{1680}S$

Так как $224 < 225$, то и $\frac{224}{1680}S < \frac{225}{1680}S$. Следовательно, $T_С < T_А$.

Это означает, что Смирнов затратил на дорогу меньше времени, чем Антонов, и, соответственно, вернулся в посёлок раньше.

Ответ: Смирнов вернулся в посёлок раньше.