Номер 927, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 927, страница 208.

927. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при $a > 0, b > 0, c > 0$ верно неравенство:

a) $ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$;

б) $\left(1 + \frac{a^2}{bc}\right)\left(1 + \frac{b^2}{ac}\right)\left(1 + \frac{c^2}{ab}\right) \ge 8.$

Для доказательства данных неравенств воспользуемся соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел $x$ и $y$, которое гласит:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, или в эквивалентной форме $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

По условию задачи, все переменные $a$, $b$ и $c$ являются положительными числами ($a > 0$, $b > 0$, $c > 0$).

а) Требуется доказать неравенство $ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$.

Рассмотрим левую часть неравенства как сумму двух положительных слагаемых: $x = ac$ и $y = \frac{b}{c}$.

Применим к этим слагаемым неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

$x + y \ge 2\sqrt{xy}$

Подставив наши выражения для $x$ и $y$, получим:

$ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ac \cdot \frac{b}{c}}$

Упростим выражение под знаком корня в правой части неравенства:

$ac \cdot \frac{b}{c} = a \cdot c \cdot \frac{b}{c} = ab$

Таким образом, мы приходим к исходному неравенству:

$ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать неравенство $(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) \ge 8$.

Для доказательства этого неравенства применим соотношение о среднем арифметическом и среднем геометрическом к каждому из множителей в левой части.

1. Для первого множителя $(1 + \frac{a^2}{bc})$ возьмем $x=1$ и $y=\frac{a^2}{bc}$. Оба числа положительны. Применяем неравенство:

$1 + \frac{a^2}{bc} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{a^2}{bc}} = 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}} = \frac{2a}{\sqrt{bc}}$ (поскольку $a>0$, то $\sqrt{a^2}=a$).

2. Для второго множителя $(1 + \frac{b^2}{ac})$ возьмем $x=1$ и $y=\frac{b^2}{ac}$. Применяем неравенство:

$1 + \frac{b^2}{ac} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{b^2}{ac}} = 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}} = \frac{2b}{\sqrt{ac}}$ (поскольку $b>0$, то $\sqrt{b^2}=b$).

3. Для третьего множителя $(1 + \frac{c^2}{ab})$ возьмем $x=1$ и $y=\frac{c^2}{ab}$. Применяем неравенство:

$1 + \frac{c^2}{ab} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{c^2}{ab}} = 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}} = \frac{2c}{\sqrt{ab}}$ (поскольку $c>0$, то $\sqrt{c^2}=c$).

Мы получили три верных неравенства. Поскольку все части этих неравенств положительны, мы можем их перемножить, сохранив знак неравенства:

$(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) \ge (\frac{2a}{\sqrt{bc}}) \cdot (\frac{2b}{\sqrt{ac}}) \cdot (\frac{2c}{\sqrt{ab}})$

Теперь упростим выражение в правой части:

$(\frac{2a}{\sqrt{bc}}) \cdot (\frac{2b}{\sqrt{ac}}) \cdot (\frac{2c}{\sqrt{ab}}) = 8 \cdot \frac{a \cdot b \cdot c}{\sqrt{bc} \cdot \sqrt{ac} \cdot \sqrt{ab}} = 8 \cdot \frac{abc}{\sqrt{b^2c^2a^2}} = 8 \cdot \frac{abc}{\sqrt{(abc)^2}}$

Так как $a, b, c > 0$, то $abc > 0$, и $\sqrt{(abc)^2} = abc$.

Следовательно, правая часть равна $8 \cdot \frac{abc}{abc} = 8$.

Таким образом, мы доказали, что:

$(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) \ge 8$

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.