Номер 926, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 926, страница 207.

926. Докажите, что при $a > 0$ и $b > 0$ верно неравенство:

a) $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 4;$

б) $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$

а) Докажем неравенство $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge 4$ при $a > 0$ и $b > 0$.

Для этого раскроем скобки в левой части выражения:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 4$

Вычтем из обеих частей неравенства 2:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$

Это известное неравенство о сумме двух взаимно обратных положительных чисел. Докажем его справедливость. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $ab > 0$, при этом знак неравенства не изменится:

$a^2 + b^2 \ge 2ab$

Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$(a-b)^2 \ge 0$

Данное неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку все наши преобразования были равносильными для $a > 0$ и $b > 0$, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ при $a > 0$ и $b > 0$.

Перенесем все члены из правой части в левую:

$\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \ge 0$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(\frac{a}{b^2} - \frac{1}{b}) + (\frac{b}{a^2} - \frac{1}{a}) \ge 0$

Приведем к общему знаменателю выражения в каждой из скобок:

$\frac{a-b}{b^2} + \frac{b-a}{a^2} \ge 0$

Заметим, что $b-a = -(a-b)$, тогда:

$\frac{a-b}{b^2} - \frac{a-b}{a^2} \ge 0$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)(\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2}) \ge 0$

Применим к выражению в скобках формулу разности квадратов и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2b^2} = \frac{(a-b)(a+b)}{(ab)^2}$

Подставим это обратно в неравенство:

$(a-b) \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{(ab)^2} \ge 0$

$\frac{(a-b)^2(a+b)}{(ab)^2} \ge 0$

Проанализируем полученное выражение, учитывая, что $a > 0$ и $b > 0$:

1. $(a-b)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа.
2. $a+b > 0$, так как это сумма двух положительных чисел.
3. $(ab)^2 > 0$, так как $a$ и $b$ положительны, их произведение отлично от нуля, а квадрат этого произведения положителен.

Левая часть неравенства является отношением произведения неотрицательного числа $(a-b)^2$ и положительного числа $(a+b)$ к положительному числу $(ab)^2$. Результат такого выражения всегда неотрицателен. Следовательно, неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.