Страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

920. В каком случае катер затратит больше времени: если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он пройдёт 40 км в стоячей воде?

Чтобы определить, в каком случае катер затратит больше времени, необходимо сравнить время движения в двух сценариях. Для этого введем переменные и составим математические выражения для каждого случая.

Пусть $v_k$ — это собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), а $v_t$ — скорость течения реки. Оба значения положительны ($v_k > 0$, $v_t > 0$). Для того чтобы катер мог плыть против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v_k > v_t$.

1. Время движения по реке (20 км по течению и 20 км против течения)

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения и равна $v_k + v_t$. Время, затраченное на 20 км по течению, составляет:

$t_1 = \frac{20}{v_k + v_t}$

Когда катер движется против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_k - v_t$. Время, затраченное на 20 км против течения, составляет:

$t_2 = \frac{20}{v_k - v_t}$

Общее время движения по реке $T_{река}$ равно сумме $t_1$ и $t_2$:

$T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{20}{v_k + v_t} + \frac{20}{v_k - v_t}$

Приведем выражение к общему знаменателю $(v_k + v_t)(v_k - v_t) = v_k^2 - v_t^2$:

$T_{река} = \frac{20(v_k - v_t) + 20(v_k + v_t)}{(v_k + v_t)(v_k - v_t)} = \frac{20v_k - 20v_t + 20v_k + 20v_t}{v_k^2 - v_t^2} = \frac{40v_k}{v_k^2 - v_t^2}$

2. Время движения в стоячей воде (40 км)

В стоячей воде (например, в озере) скорость катера равна его собственной скорости $v_k$. Время, затраченное на 40 км пути, составляет:

$T_{озеро} = \frac{40}{v_k}$

Сравнение времен

Теперь сравним полученные выражения для общего времени $T_{река}$ и $T_{озеро}$.

$T_{река} = \frac{40v_k}{v_k^2 - v_t^2}$

$T_{озеро} = \frac{40}{v_k}$

Чтобы сравнить эти два выражения, приведем вторую дробь к числителю $40v_k$, умножив числитель и знаменатель на $v_k$:

$T_{озеро} = \frac{40 \cdot v_k}{v_k \cdot v_k} = \frac{40v_k}{v_k^2}$

Теперь мы сравниваем две дроби с одинаковыми положительными числителями: $\frac{40v_k}{v_k^2 - v_t^2}$ и $\frac{40v_k}{v_k^2}$.

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели:

$v_k^2 - v_t^2$ и $v_k^2$

Поскольку скорость течения $v_t > 0$, то $v_t^2 > 0$. Следовательно, знаменатель первой дроби меньше:

$v_k^2 - v_t^2 < v_k^2$

Это означает, что сама дробь будет больше:

$\frac{40v_k}{v_k^2 - v_t^2} > \frac{40v_k}{v_k^2}$

Таким образом, $T_{река} > T_{озеро}$.

Интуитивно это можно объяснить тем, что выигрыш во времени при движении по течению всегда меньше, чем проигрыш во времени при движении против течения на такое же расстояние.

Ответ: Катер затратит больше времени, если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения.

921. (Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?

1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.

2) Введите обозначения: $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде; $y$ км/ч и $z$ км/ч — скорости течения первой и второй рек; $s$ км — расстояние, на которое отплывала лодка.

3) Запишите формулы для вычисления времени $t_1$ ч и $t_2$ ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.

4) Найдите разность $t_1 - t_2$ и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.

5) Подтвердилось ли ваше предположение?

1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.

Можно предположить, что чем быстрее течение реки, тем больше времени займет весь путь туда и обратно. Хотя по течению лодка будет двигаться быстрее, замедление при движении против течения будет более значительным. Следовательно, во второй день, на реке с более быстрым течением, лодка затратит больше времени.
Ответ: На весь путь больше времени будет затрачено во второй день.

2) Введите обозначения: $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде; $y$ км/ч и $z$ км/ч — скорости течения первой и второй рек; $s$ км — расстояние, на которое отплывала лодка.

Согласно условию, введены следующие обозначения:

• $x$ — собственная скорость лодки (км/ч).
• $y$ — скорость течения первой реки (км/ч).
• $z$ — скорость течения второй реки (км/ч).
• $s$ — расстояние в один конец (км).

По условию вторая река более быстрая, значит $z > y$. Также, чтобы лодка могла вернуться обратно, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > z$ и $x > y$. Поскольку $z > y$, достаточно условия $x > z$.
Ответ: Обозначения введены: $x > 0, s > 0, x > z > y > 0$.

3) Запишите формулы для вычисления времени $t_1$ ч и $t_2$ ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.

Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.
В первый день ($t_1$):
Время по течению: $\frac{s}{x+y}$
Время против течения: $\frac{s}{x-y}$
Общее время $t_1$ равно сумме времени движения по течению и против течения: $t_1 = \frac{s}{x+y} + \frac{s}{x-y} = \frac{s(x-y) + s(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{sx - sy + sx + sy}{x^2 - y^2} = \frac{2sx}{x^2 - y^2}$.

Во второй день ($t_2$):
Время по течению: $\frac{s}{x+z}$
Время против течения: $\frac{s}{x-z}$
Общее время $t_2$ равно: $t_2 = \frac{s}{x+z} + \frac{s}{x-z} = \frac{s(x-z) + s(x+z)}{(x+z)(x-z)} = \frac{sx - sz + sx + sz}{x^2 - z^2} = \frac{2sx}{x^2 - z^2}$.
Ответ: $t_1 = \frac{2sx}{x^2 - y^2}$ ч; $t_2 = \frac{2sx}{x^2 - z^2}$ ч.

4) Найдите разность $t_1 - t_2$ и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.

Найдем разность времени $t_1 - t_2$:
$t_1 - t_2 = \frac{2sx}{x^2 - y^2} - \frac{2sx}{x^2 - z^2}$
Вынесем общий множитель $2sx$ за скобки:
$t_1 - t_2 = 2sx \left( \frac{1}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x^2 - z^2} \right)$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$t_1 - t_2 = 2sx \left( \frac{(x^2 - z^2) - (x^2 - y^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)} \right) = 2sx \frac{x^2 - z^2 - x^2 + y^2}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)} = 2sx \frac{y^2 - z^2}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)}$
Теперь оценим знак полученного выражения.

• $s > 0$ и $x > 0$, следовательно, множитель $2sx > 0$.
• По условию $z > y > 0$, значит $z^2 > y^2$, и разность $y^2 - z^2 < 0$. Числитель дроби отрицательный.
• Так как $x > z > y$, то $x^2 > z^2 > y^2$. Поэтому $x^2 - y^2 > 0$ и $x^2 - z^2 > 0$. Знаменатель дроби является произведением двух положительных чисел, значит, он положителен.

Таким образом, разность $t_1 - t_2$ является произведением положительного числа ($2sx$) и отрицательной дроби ($\frac{y^2 - z^2}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)}$), следовательно, $t_1 - t_2 < 0$.
Если $t_1 - t_2 < 0$, то $t_1 < t_2$. Это означает, что во второй день времени было затрачено больше.
Ответ: Разность $t_1 - t_2 = \frac{2sx(y^2 - z^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)}$. Так как эта разность отрицательна, то $t_2 > t_1$. Лодка затратила больше времени во второй день.

5) Подтвердилось ли ваше предположение?

Да, математический расчет полностью подтвердил первоначальное предположение о том, что на реке с более быстрым течением общее время в пути будет больше.
Ответ: Да, предположение подтвердилось.

922. Велосипедисты Смирнов и Антонов отправились одновременно из посёлка в город и, пробыв в городе одинаковое время, вернулись в посёлок. Смирнов в город и обратно ехал со скоростью $15 \text{ км/ч}$, а Антонов в город ехал со скоростью, на $1 \text{ км/ч}$ большей, чем Смирнов, а возвращался со скоростью, на $1 \text{ км/ч}$ меньшей, чем Смирнов. Кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше?

Для того чтобы определить, кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше, необходимо сравнить их общее время, затраченное на дорогу. Поскольку время, проведённое в городе, было для них одинаковым, его можно не учитывать при сравнении.

Пусть расстояние от посёлка до города равно $S$ км.

Расчет времени в пути для Смирнова

Смирнов ехал и в город, и обратно с постоянной скоростью $v_С = 15$ км/ч. Его общее время в пути $T_С$ складывается из времени на дорогу туда и обратно:

$T_С = \frac{S}{15} + \frac{S}{15} = \frac{2S}{15}$ ч.

Расчет времени в пути для Антонова

Антонов ехал в город со скоростью на 1 км/ч большей, чем у Смирнова: $v_{А1} = 15 + 1 = 16$ км/ч.Обратно он ехал со скоростью на 1 км/ч меньшей: $v_{А2} = 15 - 1 = 14$ км/ч.Его общее время в пути $T_А$ равно:

$T_А = \frac{S}{16} + \frac{S}{14}$ ч.

Сравнение времени в пути

Чтобы сравнить $T_С$ и $T_А$, сначала упростим выражение для $T_А$, приведя дроби к общему знаменателю (наименьшее общее кратное для 16 и 14 равно 112):

$T_А = \frac{7 \cdot S}{112} + \frac{8 \cdot S}{112} = \frac{15S}{112}$ ч.

Теперь сравним полученные значения времени: $T_С = \frac{2S}{15}$ и $T_А = \frac{15S}{112}$. Для этого приведём коэффициенты при $S$ к общему знаменателю ($15 \times 112 = 1680$):

$T_С = \frac{2S}{15} = \frac{2 \cdot 112}{15 \cdot 112}S = \frac{224}{1680}S$

$T_А = \frac{15S}{112} = \frac{15 \cdot 15}{112 \cdot 15}S = \frac{225}{1680}S$

Так как $224 < 225$, то и $\frac{224}{1680}S < \frac{225}{1680}S$. Следовательно, $T_С < T_А$.

Это означает, что Смирнов затратил на дорогу меньше времени, чем Антонов, и, соответственно, вернулся в посёлок раньше.

Ответ: Смирнов вернулся в посёлок раньше.

923. Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся основным свойством сторон треугольника — неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Пусть даны стороны треугольника с длинами $a$, $b$ и $c$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$.

Полупериметр $p$ — это половина периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{a + b + c}{2}$.

Нам необходимо доказать, что полупериметр больше каждой из сторон. То есть, нужно доказать справедливость трех неравенств:

• $p > a$
• $p > b$
• $p > c$

Докажем первое неравенство $p > a$. Доказательства для двух других сторон будут полностью аналогичны.

Подставим в неравенство $p > a$ выражение для полупериметра:
$\frac{a + b + c}{2} > a$

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$a + b + c > 2a$

Вычтем из обеих частей неравенства сторону $a$:
$(a + b + c) - a > 2a - a$
$b + c > a$

Мы получили неравенство $b + c > a$, которое является одним из трех неравенств треугольника и всегда является истинным для любого треугольника. Поскольку все наши преобразования были равносильными, исходное неравенство $p > a$ также истинно.

Аналогично, исходя из неравенства треугольника $a + c > b$, можно доказать, что $p > b$. А из неравенства $a + b > c$ следует, что $p > c$.

Таким образом, мы доказали, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.

Ответ: Утверждение доказано. Неравенство $p > a$ (где $p$ — полупериметр, $a$ — сторона треугольника) эквивалентно неравенству треугольника $b+c > a$, которое всегда истинно. Аналогичные рассуждения верны для двух других сторон, $b$ и $c$.

924. Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.

Для сравнения площади квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр, введем обозначения и выполним математические выкладки.

Пусть $P$ — общий периметр для обеих фигур.

Для квадрата со стороной $a$ периметр равен $P = 4a$. Отсюда можно выразить сторону квадрата через периметр: $a = \frac{P}{4}$. Площадь квадрата, обозначим ее $S_{кв}$, вычисляется как $S_{кв} = a^2 = (\frac{P}{4})^2 = \frac{P^2}{16}$.

Для произвольного прямоугольника со сторонами $l$ и $w$ периметр равен $P = 2(l+w)$. Из этой формулы получаем, что сумма сторон $l+w = \frac{P}{2}$. Площадь прямоугольника, обозначим ее $S_{пр}$, равна произведению его сторон: $S_{пр} = l \cdot w$.

Теперь необходимо сравнить величины $S_{кв} = \frac{P^2}{16}$ и $S_{пр} = l \cdot w$. Для этого воспользуемся известным математическим фактом — неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел (в нашем случае, длин сторон $l$ и $w$) оно утверждает, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:

$\frac{l+w}{2} \geq \sqrt{l \cdot w}$

Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда $l = w$, то есть когда прямоугольник является квадратом.

Подставим в это неравенство известные нам выражения через периметр $P$ и площадь $S_{пр}$:

$\frac{P/2}{2} \geq \sqrt{S_{пр}}$

Упростим левую часть:

$\frac{P}{4} \geq \sqrt{S_{пр}}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(\frac{P}{4})^2 \geq S_{пр}$

$\frac{P^2}{16} \geq S_{пр}$

Поскольку ранее мы установили, что $S_{кв} = \frac{P^2}{16}$, мы можем сделать окончательный вывод:

$S_{кв} \geq S_{пр}$

Таким образом, площадь квадрата всегда больше или равна площади прямоугольника с тем же самым периметром. Равенство площадей достигается только в том случае, когда прямоугольник сам является квадратом. Если же прямоугольник не является квадратом, его площадь будет строго меньше площади квадрата.

Ответ: Площадь квадрата всегда больше или равна площади произвольного прямоугольника с тем же периметром. Из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

925. Используя выделение из трёхчлена квадрата двучлена, докажите неравенство:

а) $a^2 + ab + b^2 \ge 0;$

б) $a^2 - ab + b^2 \ge 0.$

а)

Требуется доказать неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат. Для этого представим слагаемое $ab$ как удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot \frac{b}{2}$.

$a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + b^2$

Для получения полного квадрата по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, нам необходимо слагаемое $(\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$. Добавим и вычтем это слагаемое, чтобы не изменить выражение:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b^2}{4}) - (\frac{b^2}{4}) + b^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют квадрат суммы $(a + \frac{b}{2})^2$.

$(a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \frac{b^2}{4}) + (b^2 - \frac{b^2}{4}) = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{4b^2 - b^2}{4} = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$

Таким образом, мы преобразовали исходный трёхчлен в сумму двух выражений:

$a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$

Проанализируем полученную сумму:

1. Первое слагаемое $(a + \frac{b}{2})^2$ является квадратом действительного числа, следовательно, оно всегда неотрицательно: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$ при любых $a$ и $b$.

2. Второе слагаемое $\frac{3}{4}b^2$ является произведением положительного числа $\frac{3}{4}$ и квадрата числа $b^2$. Так как $b^2 \ge 0$, то и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$ при любом $b$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Значит:

$(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$

Следовательно, исходное неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ справедливо для любых действительных чисел $a$ и $b$. Равенство нулю достигается только тогда, когда оба слагаемых равны нулю одновременно, то есть при $b=0$ и $a=0$.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Требуется доказать неравенство $a^2 - ab + b^2 \ge 0$.

Действуем аналогично предыдущему пункту, выделяя полный квадрат. На этот раз будем использовать формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим $ab$ как $2 \cdot a \cdot \frac{b}{2}$.

$a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + b^2$

Добавим и вычтем слагаемое $(\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4} + b^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют квадрат разности $(a - \frac{b}{2})^2$:

$(a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \frac{b^2}{4}) + (b^2 - \frac{b^2}{4}) = (a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$

Таким образом, мы получили:

$a^2 - ab + b^2 = (a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$

Проанализируем полученную сумму:

1. Первое слагаемое $(a - \frac{b}{2})^2$ — это квадрат числа, поэтому $(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ при любых $a$ и $b$.

2. Второе слагаемое $\frac{3}{4}b^2$ также неотрицательно, $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$ при любом $b$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Значит:

$(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$

Следовательно, исходное неравенство $a^2 - ab + b^2 \ge 0$ справедливо для любых действительных чисел $a$ и $b$. Равенство нулю достигается только при $a=0$ и $b=0$.

Ответ: Неравенство доказано.

926. Докажите, что при $a > 0$ и $b > 0$ верно неравенство:

a) $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 4;$

б) $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$

а) Докажем неравенство $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge 4$ при $a > 0$ и $b > 0$.

Для этого раскроем скобки в левой части выражения:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 4$

Вычтем из обеих частей неравенства 2:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$

Это известное неравенство о сумме двух взаимно обратных положительных чисел. Докажем его справедливость. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $ab > 0$, при этом знак неравенства не изменится:

$a^2 + b^2 \ge 2ab$

Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$(a-b)^2 \ge 0$

Данное неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку все наши преобразования были равносильными для $a > 0$ и $b > 0$, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ при $a > 0$ и $b > 0$.

Перенесем все члены из правой части в левую:

$\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \ge 0$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(\frac{a}{b^2} - \frac{1}{b}) + (\frac{b}{a^2} - \frac{1}{a}) \ge 0$

Приведем к общему знаменателю выражения в каждой из скобок:

$\frac{a-b}{b^2} + \frac{b-a}{a^2} \ge 0$

Заметим, что $b-a = -(a-b)$, тогда:

$\frac{a-b}{b^2} - \frac{a-b}{a^2} \ge 0$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)(\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2}) \ge 0$

Применим к выражению в скобках формулу разности квадратов и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2b^2} = \frac{(a-b)(a+b)}{(ab)^2}$

Подставим это обратно в неравенство:

$(a-b) \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{(ab)^2} \ge 0$

$\frac{(a-b)^2(a+b)}{(ab)^2} \ge 0$

Проанализируем полученное выражение, учитывая, что $a > 0$ и $b > 0$:

1. $(a-b)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа.
2. $a+b > 0$, так как это сумма двух положительных чисел.
3. $(ab)^2 > 0$, так как $a$ и $b$ положительны, их произведение отлично от нуля, а квадрат этого произведения положителен.

Левая часть неравенства является отношением произведения неотрицательного числа $(a-b)^2$ и положительного числа $(a+b)$ к положительному числу $(ab)^2$. Результат такого выражения всегда неотрицателен. Следовательно, неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.