Страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

958. Найдите положительные значения y, удовлетворяющие системе неравенств:

a) $ \begin{cases} 3(y - 1) - 4(y + 8) < 5(y + 5) \\ 1,2(1 + 5y) - 0,2 < 5(1 - 3y) - 3y \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 15(y - 4) - 14(y - 3) < y(y - 9) - y^2 \\ \frac{5 - y}{3} - y > 14 - \frac{2 - y}{6} \end{cases} $

в) $ \begin{cases} (2y - 1)(3y + 2) - 6y(y - 4) < 48 \\ \frac{y - 1}{8} - \frac{6y + 1}{4} - 1 < 0 \end{cases} $

a)

Решим первое неравенство системы:

$3(y - 1) - 4(y + 8) < 5(y + 5)$

$3y - 3 - 4y - 32 < 5y + 25$

$-y - 35 < 5y + 25$

$-35 - 25 < 5y + y$

$-60 < 6y$

$y > -10$

Теперь решим второе неравенство системы:

$1.2(1 + 5y) - 0.2 < 5(1 - 3y) - 3y$

$1.2 + 6y - 0.2 < 5 - 15y - 3y$

$1 + 6y < 5 - 18y$

$6y + 18y < 5 - 1$

$24y < 4$

$y < \frac{4}{24}$

$y < \frac{1}{6}$

Решением системы является пересечение полученных множеств: $y > -10$ и $y < \frac{1}{6}$, что соответствует интервалу $y \in (-10; \frac{1}{6})$.

По условию задачи, мы ищем положительные значения $y$, то есть $y > 0$.

Найдём пересечение решения системы с условием $y > 0$: $y \in (-10; \frac{1}{6}) \cap (0; +\infty)$.

Следовательно, искомые положительные значения $y$ принадлежат интервалу $(0; \frac{1}{6})$.

Ответ: $y \in (0; \frac{1}{6})$

б)

Решим первое неравенство системы:

$15(y - 4) - 14(y - 3) < y(y - 9) - y^2$

$15y - 60 - 14y + 42 < y^2 - 9y - y^2$

$y - 18 < -9y$

$y + 9y < 18$

$10y < 18$

$y < 1.8$

Теперь решим второе неравенство системы:

$\frac{5-y}{3} - y > 14 - \frac{2-y}{6}$

Умножим обе части на общий знаменатель 6:

$6 \cdot \frac{5-y}{3} - 6 \cdot y > 6 \cdot 14 - 6 \cdot \frac{2-y}{6}$

$2(5-y) - 6y > 84 - (2-y)$

$10 - 2y - 6y > 84 - 2 + y$

$10 - 8y > 82 + y$

$10 - 82 > y + 8y$

$-72 > 9y$

$y < -8$

Решением системы является пересечение полученных множеств: $y < 1.8$ и $y < -8$. Пересечением этих условий является $y < -8$.

По условию задачи, мы ищем положительные значения $y$. Множество решений $y \in (-\infty; -8)$ не содержит положительных чисел.

Ответ: Положительных решений нет.

в)

Решим первое неравенство системы:

$(2y - 1)(3y + 2) - 6y(y - 4) < 48$

$6y^2 + 4y - 3y - 2 - (6y^2 - 24y) < 48$

$6y^2 + y - 2 - 6y^2 + 24y < 48$

$25y - 2 < 48$

$25y < 50$

$y < 2$

Теперь решим второе неравенство системы:

$\frac{y - 1}{8} - \frac{6y + 1}{4} - 1 < 0$

Умножим обе части на общий знаменатель 8:

$8 \cdot \frac{y - 1}{8} - 8 \cdot \frac{6y + 1}{4} - 8 \cdot 1 < 0$

$(y - 1) - 2(6y + 1) - 8 < 0$

$y - 1 - 12y - 2 - 8 < 0$

$-11y - 11 < 0$

$-11y < 11$

$y > -1$ (знак неравенства изменился, так как мы разделили на отрицательное число -11)

Решением системы является пересечение полученных множеств: $y < 2$ и $y > -1$, что соответствует интервалу $y \in (-1; 2)$.

По условию задачи, мы ищем положительные значения $y$, то есть $y > 0$.

Найдём пересечение решения системы с условием $y > 0$: $y \in (-1; 2) \cap (0; +\infty)$.

Следовательно, искомые положительные значения $y$ принадлежат интервалу $(0; 2)$.

Ответ: $y \in (0; 2)$

959. Найдите отрицательные значения y, удовлетворяющие системе неравенств:

а) $ \begin{cases} \frac{5y - 1}{6} - \frac{2y - 1}{2} > 0 \\ 1 - \frac{y + 4}{3} < 0 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (y + 6)(5 - y) + y(y - 1) > 0 \\ 0.3y(10y + 20) - 3y^2 + 30 > 0 \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{5y - 1}{6} - \frac{2y - 1}{2} > 0 \\ 1 - \frac{y + 4}{3} < 0 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$\frac{5y - 1}{6} - \frac{2y - 1}{2} > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{5y - 1}{6} - \frac{3(2y - 1)}{6} > 0$

Умножим обе части неравенства на 6:

$5y - 1 - 3(2y - 1) > 0$

Раскроем скобки:

$5y - 1 - 6y + 3 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-y + 2 > 0$

Перенесем $y$ в правую часть:

$2 > y$, или $y < 2$.

Теперь решим второе неравенство:

$1 - \frac{y + 4}{3} < 0$

Перенесем дробь в правую часть:

$1 < \frac{y + 4}{3}$

Умножим обе части на 3:

$3 < y + 4$

Вычтем 4 из обеих частей:

$-1 < y$, или $y > -1$.

Решением системы является пересечение промежутков $y < 2$ и $y > -1$. Таким образом, решением системы является интервал $y \in (-1, 2)$.

По условию задачи, необходимо найти отрицательные значения $y$. Из интервала $(-1, 2)$ отрицательными являются значения $y$, удовлетворяющие условию $-1 < y < 0$.

Ответ: $y \in (-1, 0)$.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (y + 6)(5 - y) + y(y - 1) > 0 \\ 0,3y(10y + 20) - 3y^2 + 30 > 0 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$(y + 6)(5 - y) + y(y - 1) > 0$

Раскроем скобки:

$(5y - y^2 + 30 - 6y) + (y^2 - y) > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$5y - y^2 + 30 - 6y + y^2 - y > 0$

$-2y + 30 > 0$

Перенесем $2y$ в правую часть:

$30 > 2y$

Разделим обе части на 2:

$15 > y$, или $y < 15$.

Теперь решим второе неравенство:

$0,3y(10y + 20) - 3y^2 + 30 > 0$

Раскроем скобки:

$3y^2 + 6y - 3y^2 + 30 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$6y + 30 > 0$

Перенесем 30 в правую часть:

$6y > -30$

Разделим обе части на 6:

$y > -5$.

Решением системы является пересечение промежутков $y < 15$ и $y > -5$. Таким образом, решением системы является интервал $y \in (-5, 15)$.

По условию задачи, необходимо найти отрицательные значения $y$. Из интервала $(-5, 15)$ отрицательными являются значения $y$, удовлетворяющие условию $-5 < y < 0$.

Ответ: $y \in (-5, 0)$.

960. При каких значениях a уравнение

$x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 = 0$

имеет два корня, каждый из которых больше 2?

Данное уравнение $x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Для нахождения значений параметра $a$, при которых оба корня больше 2, можно сначала найти сами корни.

Заметим, что левую часть уравнения можно преобразовать, выделив полный квадрат:

$(x^2 - 4ax + 4a^2) - 25 = 0$

$(x - 2a)^2 - 25 = 0$

Перенесем 25 в правую часть и извлечем корень:

$(x - 2a)^2 = 25$

$x - 2a = \pm\sqrt{25}$

$x - 2a = \pm5$

Отсюда выразим два корня уравнения:

$x_1 = 2a - 5$

$x_2 = 2a + 5$

По условию задачи, каждый из корней должен быть больше 2. Это приводит к системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x_1 > 2 \\ x_2 > 2 \end{cases}$

Подставим найденные выражения для корней в эту систему:

$\begin{cases} 2a - 5 > 2 \\ 2a + 5 > 2 \end{cases}$

Теперь решим эту систему неравенств относительно $a$:

$\begin{cases} 2a > 7 \\ 2a > -3 \end{cases}$

$\begin{cases} a > \frac{7}{2} \\ a > -\frac{3}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} a > 3.5 \\ a > -1.5 \end{cases}$

Оба неравенства должны выполняться одновременно. Если $a > 3.5$, то условие $a > -1.5$ выполняется автоматически. Следовательно, решением системы является $a > 3.5$.

Таким образом, при $a > 3.5$ оба корня исходного уравнения будут больше 2.

Ответ: $a \in (3.5; +\infty)$.

961. При каких значениях $b$ уравнение

$x^2 - (2b - 2)x + b^2 - 2b = 0$

имеет два корня, принадлежащие интервалу $(-5; 5)$?

Рассмотрим данное квадратное уравнение относительно переменной x: $x^2 - (2b - 2)x + b^2 - 2b = 0$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ этого уравнения: $D = (-(2b - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - 2b) = (2b - 2)^2 - 4(b^2 - 2b) = (4b^2 - 8b + 4) - (4b^2 - 8b) = 4$.

Поскольку дискриминант $D = 4 > 0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $b$. Найдем эти корни по формуле корней квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-(2b - 2)) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{2b - 2 \pm 2}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2b - 2 - 2}{2} = \frac{2b - 4}{2} = b - 2$ и $x_2 = \frac{2b - 2 + 2}{2} = \frac{2b}{2} = b$.

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать интервалу $(-5; 5)$. Это означает, что должны одновременно выполняться два неравенства, которые составляют систему: $$ \begin{cases} -5 < b - 2 < 5 \\ -5 < b < 5 \end{cases} $$

Решим первое двойное неравенство, прибавив 2 ко всем его частям: $-5 + 2 < b < 5 + 2$, что равносильно $-3 < b < 7$.

Теперь необходимо найти значения $b$, удовлетворяющие обоим неравенствам системы одновременно. Для этого найдем пересечение интервалов, соответствующих решениям каждого неравенства: $b \in (-3; 7)$ и $b \in (-5; 5)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-3; 5)$.

Ответ: $b \in (-3; 5)$.

962. Если туристы будут проходить в день на 5 км больше, чем сейчас, то они пройдут за 6 дней расстояние, большее 90 км. Если же они будут проходить в день на 5 км меньше, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньшее 90 км. Сколько километров в день проходят туристы?

Пусть $x$ км — это расстояние, которое туристы проходят в день в настоящее время.

Согласно первому условию, если туристы будут проходить в день на 5 км больше, то есть $x + 5$ км, то за 6 дней они пройдут расстояние, большее 90 км. Это можно записать в виде неравенства:

$6 \cdot (x + 5) > 90$

Согласно второму условию, если они будут проходить в день на 5 км меньше, то есть $x - 5$ км, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньшее 90 км. Это можно записать в виде второго неравенства:

$8 \cdot (x - 5) < 90$

Для нахождения $x$ необходимо решить систему из этих двух неравенств:

$\begin{cases} 6(x + 5) > 90 \\ 8(x - 5) < 90 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Решение первого неравенства:

$6(x + 5) > 90$

Разделим обе части неравенства на 6:

$x + 5 > 15$

Вычтем 5 из обеих частей:

$x > 10$

Решение второго неравенства:

$8(x - 5) < 90$

Разделим обе части неравенства на 8:

$x - 5 < \frac{90}{8}$

$x - 5 < 11.25$

Прибавим 5 к обеим частям:

$x < 11.25 + 5$

$x < 16.25$

Мы получили, что искомое расстояние $x$ должно быть одновременно больше 10 и меньше 16.25. Объединив оба решения, получаем интервал для $x$:

$10 < x < 16.25$

Таким образом, туристы в день проходят расстояние, которое строго больше 10 км, но строго меньше 16,25 км.

Ответ: туристы проходят в день больше 10 км, но меньше 16,25 км.

963. Первую половину пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч?

Обозначим искомую скорость поезда на второй половине пути как $x$ км/ч. Согласно условию, поезд увеличил скорость после первой половины пути, где его скорость была 60 км/ч. Следовательно, мы имеем первое условие: $x > 60$.

Средняя скорость ($v_{ср}$) при прохождении двух равных участков пути с разными скоростями ($v_1$ и $v_2$) вычисляется по формуле среднего гармонического: $v_{ср} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

В нашем случае $v_1 = 60$ км/ч и $v_2 = x$ км/ч. По условию, средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч, то есть $v_{ср} \le 72$. Подставим наши значения в формулу и составим неравенство: $\frac{2 \cdot 60 \cdot x}{60 + x} \le 72$

Упростим и решим это неравенство: $\frac{120x}{60 + x} \le 72$

Поскольку скорость $x$ является положительной величиной ($x>60$), то знаменатель дроби $(60 + x)$ всегда положителен. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $(60 + x)$, не изменяя знака неравенства: $120x \le 72 \cdot (60 + x)$

$120x \le 4320 + 72x$

Перенесём слагаемые с $x$ в левую часть: $120x - 72x \le 4320$

$48x \le 4320$

Разделим обе части на 48: $x \le \frac{4320}{48}$

$x \le 90$

Теперь объединим два условия, которые мы получили для скорости $x$:
1. Из условия задачи: $x > 60$
2. Из решения неравенства: $x \le 90$
Таким образом, скорость поезда на второй половине пути должна быть строго больше 60 км/ч и не больше 90 км/ч.

Ответ: Скорость поезда во второй половине пути могла быть любой в промежутке от 60 км/ч (не включая) до 90 км/ч (включительно). Математически это записывается как $x \in (60; 90]$.