Номер 963, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 963, страница 212.

963. Первую половину пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч?

Обозначим искомую скорость поезда на второй половине пути как $x$ км/ч. Согласно условию, поезд увеличил скорость после первой половины пути, где его скорость была 60 км/ч. Следовательно, мы имеем первое условие: $x > 60$.

Средняя скорость ($v_{ср}$) при прохождении двух равных участков пути с разными скоростями ($v_1$ и $v_2$) вычисляется по формуле среднего гармонического: $v_{ср} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

В нашем случае $v_1 = 60$ км/ч и $v_2 = x$ км/ч. По условию, средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч, то есть $v_{ср} \le 72$. Подставим наши значения в формулу и составим неравенство: $\frac{2 \cdot 60 \cdot x}{60 + x} \le 72$

Упростим и решим это неравенство: $\frac{120x}{60 + x} \le 72$

Поскольку скорость $x$ является положительной величиной ($x>60$), то знаменатель дроби $(60 + x)$ всегда положителен. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $(60 + x)$, не изменяя знака неравенства: $120x \le 72 \cdot (60 + x)$

$120x \le 4320 + 72x$

Перенесём слагаемые с $x$ в левую часть: $120x - 72x \le 4320$

$48x \le 4320$

Разделим обе части на 48: $x \le \frac{4320}{48}$

$x \le 90$

Теперь объединим два условия, которые мы получили для скорости $x$:
1. Из условия задачи: $x > 60$
2. Из решения неравенства: $x \le 90$
Таким образом, скорость поезда на второй половине пути должна быть строго больше 60 км/ч и не больше 90 км/ч.

Ответ: Скорость поезда во второй половине пути могла быть любой в промежутке от 60 км/ч (не включая) до 90 км/ч (включительно). Математически это записывается как $x \in (60; 90]$.