Номер 966, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 966, страница 215.

966. Представьте числа:

а) 8, 4, 2, 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{8}$ в виде степени с основанием 2;

б) $\frac{1}{125}$, $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{5}$, 1, 5, 25, 125 в виде степени с основанием 5.

а) Чтобы представить числа $8, 4, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ и $\frac{1}{8}$ в виде степени с основанием 2, необходимо найти показатель степени, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить каждое из заданных чисел. Для этого используются следующие свойства степеней:

• Степень с натуральным показателем: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n множителей).
• Степень с показателем 1: $a^1 = a$.
• Степень с нулевым показателем: $a^0 = 1$ (для любого $a \neq 0$).
• Степень с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (для любого $a \neq 0$ и натурального n).

Применим эти правила для каждого числа:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$2 = 2^1$
$1 = 2^0$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1}$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
Ответ: $8=2^3$; $4=2^2$; $2=2^1$; $1=2^0$; $\frac{1}{2}=2^{-1}$; $\frac{1}{4}=2^{-2}$; $\frac{1}{8}=2^{-3}$.

б) Аналогично представим числа $\frac{1}{125}, \frac{1}{25}, \frac{1}{5}, 1, 5, 25, 125$ в виде степени с основанием 5, используя те же свойства степеней.

Выполним преобразования для каждого числа:

$\frac{1}{125}$: Поскольку $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$, то $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$.
$\frac{1}{25}$: Поскольку $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$, то $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.
$\frac{1}{5} = \frac{1}{5^1} = 5^{-1}$
$1 = 5^0$
$5 = 5^1$
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$
Ответ: $\frac{1}{125}=5^{-3}$; $\frac{1}{25}=5^{-2}$; $\frac{1}{5}=5^{-1}$; $1=5^0$; $5=5^1$; $25=5^2$; $125=5^3$.