Номер 970, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 970, страница 216.

970. Вычислите:

а) $(-4)^{-3};$

в) $(-\frac{3}{4})^{-2};$

д) $-0,4^{-4};$

б) $2,5^{-1};$

г) $(1\frac{1}{3})^{-3};$

е) $-(2\frac{1}{2})^{-2}.$

а) Для вычисления $ (-4)^{-3} $ используется свойство степени с отрицательным целым показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $ (где $a \neq 0$).

Применим это свойство:

$(-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3}$

Теперь вычислим значение знаменателя. Поскольку показатель степени (3) — нечетное число, результат будет отрицательным:

$(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$

Следовательно, итоговое значение выражения:

$(-4)^{-3} = \frac{1}{-64} = -\frac{1}{64}$

Ответ: $-\frac{1}{64}$.

б) Для вычисления $ 2,5^{-1} $ используется свойство $ a^{-1} = \frac{1}{a} $.

Применяя его, получаем:

$2,5^{-1} = \frac{1}{2,5}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $ 2,5 $ в виде обыкновенной дроби:

$2,5 = 2\frac{5}{10} = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Тогда:

$\frac{1}{2,5} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

Переведем результат в десятичную дробь:

$\frac{2}{5} = 0,4$

Ответ: $0,4$.

в) Для вычисления $ (-\frac{3}{4})^{-2} $ используется свойство возведения дроби в отрицательную степень $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.

Применим это свойство, "перевернув" дробь и изменив знак показателя степени на положительный:

$(-\frac{3}{4})^{-2} = (-\frac{4}{3})^2$

Теперь возведем дробь в квадрат. Так как показатель степени (2) — четное число, знак минус у основания исчезает:

$(-\frac{4}{3})^2 = \frac{(-4)^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

Выделим целую часть, чтобы представить результат в виде смешанного числа:

$\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$

Ответ: $1\frac{7}{9}$.

г) Для вычисления $ (1\frac{1}{3})^{-3} $ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь наше выражение имеет вид $ (\frac{4}{3})^{-3} $. Применим свойство $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $:

$(\frac{4}{3})^{-3} = (\frac{3}{4})^3$

Возведем полученную дробь в куб, возводя в степень числитель и знаменатель по отдельности:

$(\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$

Ответ: $\frac{27}{64}$.

д) В выражении $ -0,4^{-4} $ знак минус не относится к основанию степени, так как он не взят в скобки. Поэтому сначала нужно вычислить $ 0,4^{-4} $, а затем к результату применить знак минус.

Представим $ 0,4 $ в виде обыкновенной дроби:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь вычислим степень:

$0,4^{-4} = (\frac{2}{5})^{-4} = (\frac{5}{2})^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$

Добавим знак минус, который был в исходном выражении:

$-0,4^{-4} = -\frac{625}{16}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{625}{16} = -39\frac{1}{16}$

Ответ: $-39\frac{1}{16}$.

е) В выражении $ -(2\frac{1}{2})^{-2} $ знак минус стоит перед скобками, поэтому он не возводится в степень. Сначала выполним действие в скобках, а потом учтем знак.

Преобразуем смешанное число $ 2\frac{1}{2} $ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Теперь вычислим степень:

$(2\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$

Применим знак минус к полученному результату:

$-(2\frac{1}{2})^{-2} = -\frac{4}{25}$

Ответ: $-\frac{4}{25}$.