Номер 975, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 975, страница 216.

975. Найдите значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$, если:

a) $x = \frac{2}{3}$, $n = -2$;

б) $x = -1,5$, $n = 3$.

а)

При заданных значениях $x = \frac{2}{3}$ и $n = -2$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.

1. Найдем значение выражения $x^n$.
Подставляем данные значения: $x^n = (\frac{2}{3})^{-2}$.
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в ту же степень, но с положительным знаком. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-k} = (\frac{b}{a})^k$:
$(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Переведем в десятичную дробь: $\frac{9}{4} = 2,25$.

2. Найдем значение выражения $x^{-n}$.
Сначала вычислим показатель степени: $-n = -(-2) = 2$.
Подставляем значения: $x^{-n} = (\frac{2}{3})^2$.
Возводим дробь в квадрат:
$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $x^n = \frac{9}{4}$ (или $2,25$); $x^{-n} = \frac{4}{9}$.

б)

При заданных значениях $x = -1,5$ и $n = 3$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.

1. Найдем значение выражения $x^n$.
Подставляем данные значения: $x^n = (-1,5)^3$.
Для удобства вычислений представим $-1,5$ в виде обыкновенной дроби: $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.
Теперь возведем дробь в куб:
$x^n = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$.
Переведем в десятичную дробь: $-\frac{27}{8} = -3,375$.

2. Найдем значение выражения $x^{-n}$.
Сначала вычислим показатель степени: $-n = -3$.
Подставляем значения: $x^{-n} = (-1,5)^{-3} = (-\frac{3}{2})^{-3}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем:
$(-\frac{3}{2})^{-3} = (-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.

Ответ: $x^n = -\frac{27}{8}$ (или $-3,375$); $x^{-n} = -\frac{8}{27}$.