Страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

970. Вычислите:

а) $(-4)^{-3};$

в) $(-\frac{3}{4})^{-2};$

д) $-0,4^{-4};$

б) $2,5^{-1};$

г) $(1\frac{1}{3})^{-3};$

е) $-(2\frac{1}{2})^{-2}.$

а) Для вычисления $ (-4)^{-3} $ используется свойство степени с отрицательным целым показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $ (где $a \neq 0$).

Применим это свойство:

$(-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3}$

Теперь вычислим значение знаменателя. Поскольку показатель степени (3) — нечетное число, результат будет отрицательным:

$(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$

Следовательно, итоговое значение выражения:

$(-4)^{-3} = \frac{1}{-64} = -\frac{1}{64}$

Ответ: $-\frac{1}{64}$.

б) Для вычисления $ 2,5^{-1} $ используется свойство $ a^{-1} = \frac{1}{a} $.

Применяя его, получаем:

$2,5^{-1} = \frac{1}{2,5}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $ 2,5 $ в виде обыкновенной дроби:

$2,5 = 2\frac{5}{10} = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Тогда:

$\frac{1}{2,5} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

Переведем результат в десятичную дробь:

$\frac{2}{5} = 0,4$

Ответ: $0,4$.

в) Для вычисления $ (-\frac{3}{4})^{-2} $ используется свойство возведения дроби в отрицательную степень $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.

Применим это свойство, "перевернув" дробь и изменив знак показателя степени на положительный:

$(-\frac{3}{4})^{-2} = (-\frac{4}{3})^2$

Теперь возведем дробь в квадрат. Так как показатель степени (2) — четное число, знак минус у основания исчезает:

$(-\frac{4}{3})^2 = \frac{(-4)^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

Выделим целую часть, чтобы представить результат в виде смешанного числа:

$\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$

Ответ: $1\frac{7}{9}$.

г) Для вычисления $ (1\frac{1}{3})^{-3} $ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь наше выражение имеет вид $ (\frac{4}{3})^{-3} $. Применим свойство $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $:

$(\frac{4}{3})^{-3} = (\frac{3}{4})^3$

Возведем полученную дробь в куб, возводя в степень числитель и знаменатель по отдельности:

$(\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$

Ответ: $\frac{27}{64}$.

д) В выражении $ -0,4^{-4} $ знак минус не относится к основанию степени, так как он не взят в скобки. Поэтому сначала нужно вычислить $ 0,4^{-4} $, а затем к результату применить знак минус.

Представим $ 0,4 $ в виде обыкновенной дроби:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь вычислим степень:

$0,4^{-4} = (\frac{2}{5})^{-4} = (\frac{5}{2})^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$

Добавим знак минус, который был в исходном выражении:

$-0,4^{-4} = -\frac{625}{16}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{625}{16} = -39\frac{1}{16}$

Ответ: $-39\frac{1}{16}$.

е) В выражении $ -(2\frac{1}{2})^{-2} $ знак минус стоит перед скобками, поэтому он не возводится в степень. Сначала выполним действие в скобках, а потом учтем знак.

Преобразуем смешанное число $ 2\frac{1}{2} $ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Теперь вычислим степень:

$(2\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$

Применим знак минус к полученному результату:

$-(2\frac{1}{2})^{-2} = -\frac{4}{25}$

Ответ: $-\frac{4}{25}$.

971. Сравните с нулём значение степени:

а) $9^{-5}$;

б) $2,6^{-4}$;

в) $(-7,1)^{-6}$;

г) $(-3,9)^{-3}$.

Чтобы сравнить значение степени с нулём, нужно определить знак этого значения. Для этого воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$), а также правилами определения знака степени.

а) $9^{-5}$

Преобразуем выражение, используя свойство степени с отрицательным показателем:

$9^{-5} = \frac{1}{9^5}$

Основание степени $9$ является положительным числом. Любая степень положительного числа есть число положительное. Следовательно, $9^5 > 0$.

Частное от деления положительного числа $1$ на положительное число $9^5$ также является положительным числом.

Таким образом, $9^{-5} > 0$.

Ответ: $9^{-5} > 0$.

б) $2.6^{-4}$

Преобразуем выражение:

$2.6^{-4} = \frac{1}{2.6^4}$

Основание степени $2.6$ — положительное число. Возведение положительного числа в любую степень даёт положительный результат. Значит, $2.6^4 > 0$.

Деление $1$ на положительное число $2.6^4$ даёт в результате положительное число.

Следовательно, $2.6^{-4} > 0$.

Ответ: $2.6^{-4} > 0$.

в) $(-7.1)^{-6}$

Преобразуем выражение:

$(-7.1)^{-6} = \frac{1}{(-7.1)^6}$

Рассмотрим знаменатель дроби: $(-7.1)^6$. Основание степени $-7.1$ — отрицательное число, а показатель степени $6$ — чётное число. При возведении отрицательного числа в чётную степень результат будет положительным.

Значит, $(-7.1)^6 > 0$.

Деление положительного числа $1$ на положительное число $(-7.1)^6$ даёт в результате положительное число.

Таким образом, $(-7.1)^{-6} > 0$.

Ответ: $(-7.1)^{-6} > 0$.

г) $(-3.9)^{-3}$

Преобразуем выражение:

$(-3.9)^{-3} = \frac{1}{(-3.9)^3}$

Рассмотрим знаменатель дроби: $(-3.9)^3$. Основание степени $-3.9$ — отрицательное число, а показатель степени $3$ — нечётное число. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат будет отрицательным.

Значит, $(-3.9)^3 < 0$.

Деление положительного числа $1$ на отрицательное число $(-3.9)^3$ даёт в результате отрицательное число.

Следовательно, $(-3.9)^{-3} < 0$.

Ответ: $(-3.9)^{-3} < 0$.

972. Верно ли, что:

а) если $a > 0$ и $n$ — целое число, то $a^n > 0$;

б) если $a < 0$ и $n$ — чётное отрицательное число, то $a^n > 0$;

в) если $a < 0$ и $n$ — нечётное отрицательное число, то $a^n < 0?

а) если a > 0 и n — целое число, то aⁿ > 0;
Данное утверждение верно. Чтобы это доказать, рассмотрим все возможные значения целого числа $n$:
1. Если $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то есть $n > 0$, то $a^n$ — это произведение $n$ положительных чисел $a$. Произведение положительных чисел всегда положительно, поэтому $a^n > 0$.
2. Если $n = 0$, то по определению степени с нулевым показателем, $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$. Поскольку по условию $a > 0$, это выполняется, и $a^0 = 1 > 0$.
3. Если $n$ — целое отрицательное число, то его можно представить как $n = -m$, где $m$ — натуральное число. Тогда по определению степени с отрицательным показателем: $a^n = a^{-m} = \frac{1}{a^m}$. Так как $a > 0$ и $m$ — натуральное число, из пункта 1 мы знаем, что знаменатель $a^m > 0$. Число, обратное положительному числу, также положительно. Следовательно, $a^n > 0$.
Таким образом, для любого целого $n$ при $a > 0$ выполняется неравенство $a^n > 0$.
Ответ: да, верно.

б) если a < 0 и n — чётное отрицательное число, то aⁿ > 0;
Данное утверждение верно. Пусть $a < 0$, а $n$ — чётное отрицательное число. Это означает, что $n$ можно представить в виде $n = -m$, где $m$ — чётное натуральное число (например, $m = 2, 4, 6, \dots$).
Выражение $a^n$ можно записать как $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$.
Рассмотрим знаменатель $a^m$. Основание степени $a$ отрицательно, а показатель $m$ — чётное натуральное число. При возведении отрицательного числа в чётную степень результат всегда положителен. Это происходит потому, что отрицательные сомножители можно сгруппировать по парам, и произведение в каждой паре будет положительным: $a^m = a^{2k} = (a^2)^k$, где $m=2k$. Так как $a<0$, то $a^2 > 0$, и любая натуральная степень $k$ положительного числа $a^2$ также будет положительна. Таким образом, $a^m > 0$.
Поскольку знаменатель $a^m$ положителен, то и вся дробь $\frac{1}{a^m}$ будет положительной. Следовательно, $a^n > 0$.
Ответ: да, верно.

в) если a < 0 и n — нечётное отрицательное число, то aⁿ < 0?
Данное утверждение верно. Пусть $a < 0$, а $n$ — нечётное отрицательное число. Это означает, что $n$ можно представить в виде $n = -m$, где $m$ — нечётное натуральное число (например, $m = 1, 3, 5, \dots$).
Выражение $a^n$ можно записать как $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$.
Рассмотрим знаменатель $a^m$. Основание степени $a$ отрицательно, а показатель $m$ — нечётное натуральное число. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат всегда отрицателен. Это происходит потому, что после группировки сомножителей по парам (каждая из которых дает положительный результат) останется один отрицательный сомножитель $a$. Например, $a^3=a^2 \cdot a$. Так как $a^2>0$ и $a<0$, их произведение будет отрицательным. В общем случае, $a^m < 0$.
Поскольку знаменатель $a^m$ отрицателен, то и вся дробь $\frac{1}{a^m}$ будет отрицательной. Следовательно, $a^n < 0$.
Ответ: да, верно.

973. Найдите значение выражения $x^p$, если:

а) $x = -7, p = -2$;

б) $x = 8, p = -1$;

в) $x = 2, p = -6$;

г) $x = -9, p = 0$.

а) Для нахождения значения выражения $x^p$ при $x = -7$ и $p = -2$, подставим эти значения в выражение. Получим $(-7)^{-2}$.

По определению степени с отрицательным целым показателем, которое гласит, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого $a \neq 0$, мы можем преобразовать выражение:

$(-7)^{-2} = \frac{1}{(-7)^2}$

Теперь вычислим знаменатель:

$(-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49$

Таким образом, значение выражения равно $\frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{1}{49}$.

б) При $x = 8$ и $p = -1$ выражение $x^p$ принимает вид $8^{-1}$.

Используя то же определение степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получаем:

$8^{-1} = \frac{1}{8^1} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) При $x = 2$ и $p = -6$ выражение $x^p$ принимает вид $2^{-6}$.

Применяем свойство степени с отрицательным показателем:

$2^{-6} = \frac{1}{2^6}$

Вычислим знаменатель:

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$

Следовательно, значение выражения равно $\frac{1}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64}$.

г) При $x = -9$ и $p = 0$ выражение $x^p$ принимает вид $(-9)^0$.

По определению степени с нулевым показателем, любое ненулевое число ($a \neq 0$), возведенное в степень 0, равно 1 ($a^0 = 1$).

Так как $-9 \neq 0$, то:

$(-9)^0 = 1$.

Ответ: $1$.

974. Какое значение принимает выражение $-x^p$, если:

a) $x = -1, p = -2;$

б) $x = 0,5, p = -2;$

В) $x = 2, p = -1;$

Г) $x = 0,5, p = -5?$

а) Чтобы найти значение выражения $-x^p$ при $x = -1$ и $p = -2$, подставим эти значения в выражение:

$-x^p = -(-1)^{-2}$

Важно помнить о порядке операций: сначала выполняется возведение в степень, а затем унарный минус. По определению степени с отрицательным целым показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Вычислим степень: $(-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1$.

Теперь применим унарный минус к результату:

$-(-1)^{-2} = -(1) = -1$.

Ответ: $-1$.

б) Подставим значения $x = 0,5$ и $p = -2$ в выражение $-x^p$:

$-x^p = -(0,5)^{-2}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Теперь вычислим степень: $(0,5)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2}$.

Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$-(0,5)^{-2} = -(4) = -4$.

Ответ: $-4$.

в) Подставим значения $x = 2$ и $p = -1$ в выражение $-x^p$:

$-x^p = -(2)^{-1}$

Вычислим степень с отрицательным показателем:

$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь подставим результат в выражение:

$-(2)^{-1} = -(\frac{1}{2}) = -0,5$.

Ответ: $-0,5$.

г) Подставим значения $x = 0,5$ и $p = -5$ в выражение $-x^p$:

$-x^p = -(0,5)^{-5}$

Представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$:

$(0,5)^{-5} = (\frac{1}{2})^{-5}$.

Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{2}{1})^5 = 2^5 = 32$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$-(0,5)^{-5} = -(32) = -32$.

Ответ: $-32$.

975. Найдите значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$, если:

a) $x = \frac{2}{3}$, $n = -2$;

б) $x = -1,5$, $n = 3$.

а)

При заданных значениях $x = \frac{2}{3}$ и $n = -2$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.

1. Найдем значение выражения $x^n$.
Подставляем данные значения: $x^n = (\frac{2}{3})^{-2}$.
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в ту же степень, но с положительным знаком. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-k} = (\frac{b}{a})^k$:
$(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Переведем в десятичную дробь: $\frac{9}{4} = 2,25$.

2. Найдем значение выражения $x^{-n}$.
Сначала вычислим показатель степени: $-n = -(-2) = 2$.
Подставляем значения: $x^{-n} = (\frac{2}{3})^2$.
Возводим дробь в квадрат:
$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $x^n = \frac{9}{4}$ (или $2,25$); $x^{-n} = \frac{4}{9}$.

б)

При заданных значениях $x = -1,5$ и $n = 3$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.

1. Найдем значение выражения $x^n$.
Подставляем данные значения: $x^n = (-1,5)^3$.
Для удобства вычислений представим $-1,5$ в виде обыкновенной дроби: $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.
Теперь возведем дробь в куб:
$x^n = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$.
Переведем в десятичную дробь: $-\frac{27}{8} = -3,375$.

2. Найдем значение выражения $x^{-n}$.
Сначала вычислим показатель степени: $-n = -3$.
Подставляем значения: $x^{-n} = (-1,5)^{-3} = (-\frac{3}{2})^{-3}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем:
$(-\frac{3}{2})^{-3} = (-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.

Ответ: $x^n = -\frac{27}{8}$ (или $-3,375$); $x^{-n} = -\frac{8}{27}$.

976. Найдите значение выражения:

а) $8 \cdot 4^{-3}$;

б) $-2 \cdot 10^{5}$;

в) $18 \cdot (-9)^{-1}$;

г) $10 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{-1}$;

д) $3^{-2} + 4^{-1}$;

е) $2^{-3} - (-2)^{-4}$;

ж) $0,5^{-2} + \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$;

з) $0,3^{0} + 0,1^{-4}$.

а) Чтобы найти значение выражения $8 \cdot 4^{-3}$, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{64}$.
Теперь умножим 8 на полученный результат:
$8 \cdot \frac{1}{64} = \frac{8}{64}$.
Сократим дробь на 8:
$\frac{8}{64} = \frac{1}{8}$.
Другой способ — представить числа как степени двойки: $8=2^3$, $4=2^2$.
$8 \cdot 4^{-3} = 2^3 \cdot (2^2)^{-3} = 2^3 \cdot 2^{2 \cdot (-3)} = 2^3 \cdot 2^{-6} = 2^{3-6} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) Чтобы найти значение выражения $-2 \cdot 10^5$, нужно возвести 10 в 5-ю степень и умножить на -2.
$10^5 = 100000$.
$-2 \cdot 100000 = -200000$.
Ответ: -200000.

в) Чтобы найти значение выражения $18 \cdot (-9)^{-1}$, используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
$(-9)^{-1} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}$.
Теперь выполним умножение:
$18 \cdot (-\frac{1}{9}) = -\frac{18}{9} = -2$.
Ответ: -2.

г) Чтобы найти значение выражения $10 \cdot (-\frac{1}{5})^{-1}$, воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.
$(-\frac{1}{5})^{-1} = -\frac{5}{1} = -5$.
Теперь выполним умножение:
$10 \cdot (-5) = -50$.
Ответ: -50.

д) Чтобы найти значение выражения $3^{-2} + 4^{-1}$, вычислим каждое слагаемое отдельно.
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
$4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Теперь сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 36:
$\frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{4}{36} + \frac{9}{36} = \frac{4+9}{36} = \frac{13}{36}$.
Ответ: $\frac{13}{36}$.

е) Чтобы найти значение выражения $2^{-3} - (-2)^{-4}$, вычислим каждое слагаемое отдельно.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
$(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$ (так как степень четная, результат положительный).
Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 16:
$\frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} - \frac{1}{16} = \frac{2-1}{16} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

ж) Чтобы найти значение выражения $0,5^{-2} + (\frac{1}{3})^{-1}$, преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и вычислим каждое слагаемое.
$0,5 = \frac{1}{2}$.
$0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.
$(\frac{1}{3})^{-1} = \frac{3}{1} = 3$.
Теперь сложим полученные значения:
$4 + 3 = 7$.
Ответ: 7.

з) Чтобы найти значение выражения $0,3^0 + 0,1^{-4}$, вычислим каждое слагаемое.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, поэтому $0,3^0 = 1$.
Преобразуем $0,1$ в дробь: $0,1 = \frac{1}{10}$.
$0,1^{-4} = (\frac{1}{10})^{-4} = (\frac{10}{1})^4 = 10^4 = 10000$.
Теперь сложим результаты:
$1 + 10000 = 10001$.
Ответ: 10001.

977. Вычислите:

а) $6 \cdot 12^{-1};$

б) $-4 \cdot 8^{-2};$

в) $6^{-1} - 3^{-2};$

г) $1,3^0 - 1,3^{-1};$

д) $12 - \left(\frac{1}{6}\right)^{-1};$

е) $25 + 0,1^{-2}.$

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Применим это свойство к $12^{-1}$:
$12^{-1} = \frac{1}{12^1} = \frac{1}{12}$.
Теперь выполним умножение:
$6 \cdot 12^{-1} = 6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5.

б) Используем то же свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для $8^{-2}$:
$8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$.
Теперь выполним умножение:
$-4 \cdot 8^{-2} = -4 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16}$.
Ответ: $-\frac{1}{16}$.

в) Преобразуем оба члена выражения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$6^{-1} = \frac{1}{6}$
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю 18:
$6^{-1} - 3^{-2} = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{3}{18} - \frac{2}{18} = \frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{18}$.

г) Вспомним два свойства степени: любое число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$ для $a \ne 0$) и свойство степени с отрицательным показателем.
$1,3^0 = 1$
$1,3^{-1} = \frac{1}{1,3} = \frac{10}{13}$
Теперь выполним вычитание:
$1,3^0 - 1,3^{-1} = 1 - \frac{10}{13} = \frac{13}{13} - \frac{10}{13} = \frac{3}{13}$.
Ответ: $\frac{3}{13}$.

д) Для возведения дроби в отрицательную степень используется правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
Применим это правило:
$(\frac{1}{6})^{-1} = (\frac{6}{1})^1 = 6$.
Теперь выполним вычитание:
$12 - (\frac{1}{6})^{-1} = 12 - 6 = 6$.
Ответ: 6.

е) Сначала представим десятичную дробь 0,1 в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$. Затем используем правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$0,1^{-2} = (\frac{1}{10})^{-2} = (\frac{10}{1})^2 = 10^2 = 100$.
Теперь выполним сложение:
$25 + 0,1^{-2} = 25 + 100 = 125$.
Ответ: 125.

978. Представьте выражение в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем:

а) $3x^{-5}$;

б) $x^{-4}y$;

в) $5ab^{-7}$;

г) $5(ab)^{-7}$;

д) $x^{-1}c^{-3}$;

е) $-9yz^{-8}$;

ж) $2(x+y)^{-4}$;

з) $10x^{-1}(x-y)^{-3}$.

а) Для преобразования выражения $3x^{-5}$ используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В данном случае отрицательная степень относится только к переменной $x$, поэтому множитель $3$ остается в числителе: $3x^{-5} = 3 \cdot \frac{1}{x^5} = \frac{3}{x^5}$.
Ответ: $\frac{3}{x^5}$

б) В выражении $x^{-4}y$ отрицательный показатель $-4$ относится только к $x$. Переменная $y$ имеет показатель $1$. Применяя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $x^{-4}y = \frac{1}{x^4} \cdot y = \frac{y}{x^4}$.
Ответ: $\frac{y}{x^4}$

в) В выражении $5ab^{-7}$ отрицательный показатель $-7$ относится только к переменной $b$. Множители $5$ и $a$ остаются в числителе: $5ab^{-7} = 5a \cdot b^{-7} = 5a \cdot \frac{1}{b^7} = \frac{5a}{b^7}$.
Ответ: $\frac{5a}{b^7}$

г) В выражении $5(ab)^{-7}$ отрицательная степень $-7$ относится ко всему произведению в скобках $(ab)$. Таким образом: $5(ab)^{-7} = 5 \cdot \frac{1}{(ab)^7} = \frac{5}{a^7b^7}$.
Ответ: $\frac{5}{a^7b^7}$

д) В выражении $x^{-1}c^{-3}$ обе переменные имеют отрицательные показатели. Преобразуем каждый множитель отдельно: $x^{-1} = \frac{1}{x}$ и $c^{-3} = \frac{1}{c^3}$. Перемножив их, получим: $x^{-1}c^{-3} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{c^3} = \frac{1}{xc^3}$.
Ответ: $\frac{1}{xc^3}$

е) В выражении $-9yz^{-8}$ отрицательный показатель $-8$ относится только к переменной $z$. Множители $-9$ и $y$ остаются в числителе: $-9yz^{-8} = -9y \cdot z^{-8} = -9y \cdot \frac{1}{z^8} = -\frac{9y}{z^8}$.
Ответ: $-\frac{9y}{z^8}$

ж) В выражении $2(x+y)^{-4}$ в отрицательную степень $-4$ возводится вся сумма в скобках $(x+y)$. Множитель $2$ остается в числителе: $2(x+y)^{-4} = 2 \cdot \frac{1}{(x+y)^4} = \frac{2}{(x+y)^4}$.
Ответ: $\frac{2}{(x+y)^4}$

з) В выражении $10x^{-1}(x-y)^{-3}$ есть два множителя с отрицательными степенями: $x^{-1}$ и $(x-y)^{-3}$. Преобразуем их и перемножим: $10x^{-1}(x-y)^{-3} = 10 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{(x-y)^3} = \frac{10}{x(x-y)^3}$.
Ответ: $\frac{10}{x(x-y)^3}$

979. Представьте в виде произведения дробь:

а) $\frac{3}{b^2}$;

б) $\frac{x}{y}$;

в) $\frac{2a^8}{c^5}$;

г) $\frac{a^5}{7b^3}$;

д) $\frac{1}{x^2 y^3}$;

е) $\frac{(a+b)^2}{b^4 c^4}$;

ж) $\frac{2a}{(a-2)^2}$;

з) $\frac{(c+b)^5}{2(a-b)^4}$.

а) Чтобы представить дробь $\frac{3}{b^2}$ в виде произведения, мы разделяем числитель и знаменатель. Числитель — это множитель 3, а знаменатель $b^2$ можно представить в виде множителя $\frac{1}{b^2}$. Таким образом, мы получаем произведение целого числа и дроби.Ответ: $3 \cdot \frac{1}{b^2}$

б) Дробь $\frac{x}{y}$ можно представить как произведение числителя $x$ и дроби, обратной знаменателю $y$.Ответ: $x \cdot \frac{1}{y}$

в) В дроби $\frac{2a^8}{c^5}$ числитель состоит из двух множителей: 2 и $a^8$. Знаменатель — это $c^5$. Представляем каждый множитель отдельно.Ответ: $2 \cdot a^8 \cdot \frac{1}{c^5}$

г) В дроби $\frac{a^5}{7b^3}$ числитель — это $a^5$, а знаменатель состоит из двух множителей: 7 и $b^3$. Мы можем представить эту дробь как произведение трех множителей.Ответ: $\frac{1}{7} \cdot a^5 \cdot \frac{1}{b^3}$

д) Знаменатель дроби $\frac{1}{x^2y^3}$ является произведением $x^2$ и $y^3$. Мы можем разбить эту дробь на произведение двух дробей, каждая из которых содержит один из множителей знаменателя.Ответ: $\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{y^3}$

е) В дроби $\frac{(a+b)^2}{b^4c^4}$ числитель представлен выражением $(a+b)^2$, а знаменатель — произведением $b^4$ и $c^4$. Разделим дробь на произведение множителей числителя и обратных множителей знаменателя.Ответ: $(a+b)^2 \cdot \frac{1}{b^4} \cdot \frac{1}{c^4}$

ж) Числитель дроби $\frac{2a}{(a-2)^2}$ состоит из множителей 2 и $a$. Знаменатель — это $(a-2)^2$. Представим дробь как произведение этих множителей.Ответ: $2 \cdot a \cdot \frac{1}{(a-2)^2}$

з) В дроби $\frac{(c+b)^5}{2(a-b)^4}$ числитель — это $(c+b)^5$, а знаменатель — произведение 2 и $(a-b)^4$. Представим эту дробь как произведение множителя из числителя и дробей, обратных множителям из знаменателя.Ответ: $\frac{1}{2} \cdot (c+b)^5 \cdot \frac{1}{(a-b)^4}$