Страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1013. Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде:

а) $1,2 \cdot 10^9$;

б) $3,6 \cdot 10^3$;

в) $2,7 \cdot 10^{-3}$;

г) $6,3 \cdot 10^{-1}$;

д) $4,42 \cdot 10^5$;

е) $9,28 \cdot 10^{-4}$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ (показатель степени у 10) называется порядком числа. Все представленные числа уже находятся в стандартном виде, поэтому для определения их порядка достаточно посмотреть на показатель степени числа 10.

а) Для числа $1,2 \cdot 10^9$, показатель степени у 10 равен 9.
Ответ: 9.

б) Для числа $3,6 \cdot 10^3$, показатель степени у 10 равен 3.
Ответ: 3.

в) Для числа $2,7 \cdot 10^{-3}$, показатель степени у 10 равен -3.
Ответ: -3.

г) Для числа $6,3 \cdot 10^{-1}$, показатель степени у 10 равен -1.
Ответ: -1.

д) Для числа $4,42 \cdot 10^5$, показатель степени у 10 равен 5.
Ответ: 5.

е) Для числа $9,28 \cdot 10^{-4}$, показатель степени у 10 равен -4.
Ответ: -4.

1014. Запишите в стандартном виде число:

а) $52\,000\,000$;

б) $2\,180\,000$;

в) $675\,000\,000$;

г) $40.44$;

д) $0.00281$;

е) $0.0000035$.

Стандартным видом числа называют его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Для преобразования числа в стандартный вид необходимо переместить десятичную запятую так, чтобы перед ней осталась только одна ненулевая цифра. Полученное число $a$ (мантисса) умножается на 10 в степени $n$ (порядок), где $n$ равно количеству позиций, на которые была смещена запятая. Если запятая смещается влево, $n$ — положительное число; если вправо — отрицательное.

а) Чтобы записать число $52 \ 000 \ 000$ в стандартном виде, переместим запятую влево на 7 позиций, чтобы получить число $5,2$. Так как сдвиг был на 7 позиций влево, порядок числа $n=7$. Таким образом, получаем: $52 \ 000 \ 000 = 5,2 \times 10^7$.
Ответ: $5,2 \times 10^7$.

б) Для числа $2 \ 180 \ 000$ переместим запятую влево на 6 позиций, чтобы получить число $2,18$. Порядок числа $n=6$. Таким образом, стандартный вид числа: $2 \ 180 \ 000 = 2,18 \times 10^6$.
Ответ: $2,18 \times 10^6$.

в) В числе $675 \ 000 \ 000$ переместим запятую влево на 8 позиций, чтобы получить $6,75$. Порядок числа $n=8$. В стандартном виде это будет: $675 \ 000 \ 000 = 6,75 \times 10^8$.
Ответ: $6,75 \times 10^8$.

г) В числе $40,44$ переместим запятую влево на 1 позицию, чтобы получить $4,044$. Порядок числа $n=1$. Запись в стандартном виде: $40,44 = 4,044 \times 10^1$.
Ответ: $4,044 \times 10^1$.

д) Для числа $0,00281$ переместим запятую вправо на 3 позиции, чтобы получить $2,81$. Так как сдвиг был вправо, порядок числа будет отрицательным: $n=-3$. Стандартный вид: $0,00281 = 2,81 \times 10^{-3}$.
Ответ: $2,81 \times 10^{-3}$.

е) Для числа $0,0000035$ переместим запятую вправо на 6 позиций, чтобы получить $3,5$. Порядок числа будет отрицательным: $n=-6$. Стандартный вид: $0,0000035 = 3,5 \times 10^{-6}$.
Ответ: $3,5 \times 10^{-6}$.

1015. Запишите в стандартном виде:

а) $45 \cdot 10^3;$

б) $117 \cdot 10^5;$

в) $0,74 \cdot 10^6;$

г) $0,06 \cdot 10^5.$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Чтобы привести данные выражения к стандартному виду, необходимо преобразовать первый множитель так, чтобы он удовлетворял этому условию, и соответственно изменить показатель степени у второго множителя.

а) $45 \cdot 10^3$
Первый множитель $45$ больше $10$. Чтобы он стал числом от 1 до 10, нужно перенести запятую на 1 знак влево. Это эквивалентно делению на 10. Чтобы значение выражения не изменилось, нужно умножить его на 10.
$45 = 4.5 \cdot 10^1$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$45 \cdot 10^3 = (4.5 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 4.5 \cdot 10^{1+3} = 4.5 \cdot 10^4$.
Ответ: $4.5 \cdot 10^4$.

б) $117 \cdot 10^5$
Первый множитель $117$ больше $10$. Перенесем запятую на 2 знака влево, чтобы получить число в нужном диапазоне:
$117 = 1.17 \cdot 10^2$.
Подставим в исходное выражение:
$117 \cdot 10^5 = (1.17 \cdot 10^2) \cdot 10^5 = 1.17 \cdot 10^{2+5} = 1.17 \cdot 10^7$.
Ответ: $1.17 \cdot 10^7$.

в) $0.74 \cdot 10^6$
Первый множитель $0.74$ меньше $1$. Перенесем запятую на 1 знак вправо, что эквивалентно умножению на 10. Чтобы значение не изменилось, нужно разделить на 10.
$0.74 = 7.4 \cdot 10^{-1}$.
Подставим в исходное выражение:
$0.74 \cdot 10^6 = (7.4 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^6 = 7.4 \cdot 10^{-1+6} = 7.4 \cdot 10^5$.
Ответ: $7.4 \cdot 10^5$.

г) $0.06 \cdot 10^5$
Первый множитель $0.06$ меньше $1$. Перенесем запятую на 2 знака вправо:
$0.06 = 6 \cdot 10^{-2}$.
Подставим в исходное выражение:
$0.06 \cdot 10^5 = (6 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^5 = 6 \cdot 10^{-2+5} = 6 \cdot 10^3$.
Ответ: $6 \cdot 10^3$.

1016. Представьте число в стандартном виде:

а) $1\,024\,000$;

б) $6\,000\,000$;

в) $21,56$;

г) $0,85$;

д) $0,000004$;

е) $0,000282$;

ж) $508 \cdot 10^{-7}$;

з) $0,042 \cdot 10^{2}$.

а) Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Для числа 1 024 000 нужно переместить запятую, которая по умолчанию стоит в конце числа, влево на 6 знаков, чтобы получить число 1,024. Это число удовлетворяет условию $1 \le 1,024 < 10$. Так как запятая была перенесена на 6 знаков влево, то порядок $n$ равен 6. Таким образом, число в стандартном виде будет $1,024 \cdot 10^6$.
Ответ: $1,024 \cdot 10^6$.

б) Для числа 6 000 000 переместим запятую влево на 6 знаков, чтобы получить число 6. Так как $1 \le 6 < 10$, это и есть наша мантисса. Поскольку запятая была перенесена на 6 знаков влево, порядок $n$ равен 6. Стандартный вид числа: $6 \cdot 10^6$.
Ответ: $6 \cdot 10^6$.

в) Для числа 21,56 переместим запятую влево на 1 знак, чтобы получить число 2,156. Условие $1 \le 2,156 < 10$ выполняется. Так как мы сдвинули запятую на 1 знак влево, порядок $n$ равен 1. Стандартный вид числа: $2,156 \cdot 10^1$.
Ответ: $2,156 \cdot 10^1$.

г) Для числа 0,85 переместим запятую вправо на 1 знак, чтобы получить число 8,5. Условие $1 \le 8,5 < 10$ выполняется. Так как мы сдвинули запятую на 1 знак вправо, порядок $n$ будет отрицательным и равным -1. Стандартный вид числа: $8,5 \cdot 10^{-1}$.
Ответ: $8,5 \cdot 10^{-1}$.

д) Для числа 0,000004 переместим запятую вправо на 6 знаков, чтобы получить число 4. Условие $1 \le 4 < 10$ выполняется. Так как мы сдвинули запятую на 6 знаков вправо, порядок $n$ равен -6. Стандартный вид числа: $4 \cdot 10^{-6}$.
Ответ: $4 \cdot 10^{-6}$.

е) Для числа 0,000282 переместим запятую вправо на 4 знака, чтобы получить число 2,82. Условие $1 \le 2,82 < 10$ выполняется. Так как мы сдвинули запятую на 4 знака вправо, порядок $n$ равен -4. Стандартный вид числа: $2,82 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: $2,82 \cdot 10^{-4}$.

ж) Число дано в виде $508 \cdot 10^{-7}$. Сначала представим число 508 в стандартном виде. Перемещаем запятую на 2 знака влево, получаем $5,08 \cdot 10^2$. Теперь подставим это в исходное выражение: $(5,08 \cdot 10^2) \cdot 10^{-7}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $10^2 \cdot 10^{-7} = 10^{2+(-7)} = 10^{-5}$. Таким образом, получаем $5,08 \cdot 10^{-5}$.
Ответ: $5,08 \cdot 10^{-5}$.

з) Число дано в виде $0,042 \cdot 10^2$. Сначала представим число 0,042 в стандартном виде. Перемещаем запятую на 2 знака вправо, получаем $4,2 \cdot 10^{-2}$. Теперь подставим это в исходное выражение: $(4,2 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^2$. Складываем показатели степеней: $10^{-2} \cdot 10^2 = 10^{-2+2} = 10^0$. Таким образом, получаем $4,2 \cdot 10^0$. (Также можно было сначала вычислить $0,042 \cdot 100 = 4,2$, а затем записать в стандартном виде).
Ответ: $4,2 \cdot 10^0$.

1017. Масса Земли приближённо равна $6 \times 10^{21}$ т, а масса атома водорода $1.7 \times 10^{-24}$ г. Запишите в стандартном виде массу Земли и массу атома водорода.

Стандартным видом числа называется его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Чтобы записать число в стандартном виде, необходимо представить его как произведение числа (мантиссы), которое больше или равно 1 и строго меньше 10, на 10 в некоторой целой степени.

Масса Земли в стандартном виде

Масса Земли приблизительно равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т.

Для представления этого числа в стандартном виде, выберем мантиссу $a$ так, чтобы она удовлетворяла условию $1 \le a < 10$. В данном случае это будет число 6.

Далее определим показатель степени $n$. Для этого нужно посчитать, на сколько разрядов мысленно сдвигается запятая из конца числа влево, чтобы получилось число 6. Количество нулей после цифры 6 равно 21. Следовательно, запятую нужно сдвинуть на 21 разряд влево.

Это означает, что исходное число можно представить как произведение 6 на $10^{21}$.

$6 \underbrace{000...0}_{21} = 6 \times 10^{21}$

Таким образом, масса Земли в стандартном виде записывается как $6 \times 10^{21}$ т. Проверяем: $a=6$ (условие $1 \le 6 < 10$ выполнено) и $n=21$ (целое число).

Ответ: $6 \times 10^{21}$ т.

Масса атома водорода в стандартном виде

Масса атома водорода равна 0,000000000000000000000017 г.

Для представления этого числа в стандартном виде, выберем мантиссу $a$ так, чтобы $1 \le a < 10$. Для этого сдвинем запятую вправо, чтобы она оказалась после первой значащей цифры (1). Получим число 1,7.

Теперь определим показатель степени $n$. Посчитаем, на сколько разрядов мы сдвинули запятую вправо.

0,$\underbrace{00000000000000000000001}_{24 \text{ позиции}}$7

Запятая перемещается на 24 позиции вправо. Поскольку мы сдвигали запятую вправо (превращая маленькое число в большее), показатель степени $n$ будет отрицательным и равным количеству позиций сдвига.

Следовательно, масса атома водорода в стандартном виде записывается как $1,7 \times 10^{-24}$ г. Проверяем: $a=1,7$ (условие $1 \le 1,7 < 10$ выполнено) и $n=-24$ (целое число).

Ответ: $1,7 \times 10^{-24}$ г.

1018. Выразите:

а) $3,8 \cdot 10^3$ т в граммах;

б) $1,7 \cdot 10^{-4}$ км в сантиметрах;

в) $8,62 \cdot 10^{-1}$ кг в тоннах;

г) $5,24 \cdot 10^5$ см в метрах.

а) Для перевода тонн в граммы воспользуемся следующими соотношениями: 1 тонна (т) = 1000 килограмм (кг) = $10^3$ кг, а 1 килограмм (кг) = 1000 грамм (г) = $10^3$ г. Таким образом, 1 тонна содержит $10^3 \cdot 10^3 = 10^6$ грамм. Выполним вычисление: $3,8 \cdot 10^3 \text{ т} = 3,8 \cdot 10^3 \cdot 10^6 \text{ г} = 3,8 \cdot 10^{3+6} \text{ г} = 3,8 \cdot 10^9 \text{ г}$.
Ответ: $3,8 \cdot 10^9$ г.

б) Для перевода километров в сантиметры используем соотношения: 1 километр (км) = 1000 метров (м) = $10^3$ м, а 1 метр (м) = 100 сантиметров (см) = $10^2$ см. Отсюда следует, что 1 километр содержит $10^3 \cdot 10^2 = 10^5$ сантиметров. Выполним вычисление: $1,7 \cdot 10^{-4} \text{ км} = 1,7 \cdot 10^{-4} \cdot 10^5 \text{ см} = 1,7 \cdot 10^{-4+5} \text{ см} = 1,7 \cdot 10^1 \text{ см} = 17 \text{ см}$.
Ответ: 17 см.

в) Чтобы перевести килограммы в тонны, вспомним, что 1 тонна (т) = 1000 килограмм (кг) = $10^3$ кг. Следовательно, 1 килограмм составляет одну тысячную тонны: $1 \text{ кг} = \frac{1}{1000} \text{ т} = 10^{-3} \text{ т}$. Произведем вычисление: $8,62 \cdot 10^{-1} \text{ кг} = 8,62 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-3} \text{ т} = 8,62 \cdot 10^{-1+(-3)} \text{ т} = 8,62 \cdot 10^{-4} \text{ т}$.
Ответ: $8,62 \cdot 10^{-4}$ т.

г) Для перевода сантиметров в метры используем соотношение: 1 метр (м) = 100 сантиметров (см) = $10^2$ см. Из этого следует, что 1 сантиметр равен одной сотой метра: $1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м} = 10^{-2} \text{ м}$. Выполним вычисление: $5,24 \cdot 10^5 \text{ см} = 5,24 \cdot 10^5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 5,24 \cdot 10^{5+(-2)} \text{ м} = 5,24 \cdot 10^3 \text{ м}$.
Ответ: $5,24 \cdot 10^3$ м.