Страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1019. Представьте:

а) $2,85 \cdot 10^8$ см в километрах;

б) $4,6 \cdot 10^{-2}$ м в миллиметрах;

в) $6,75 \cdot 10^{15}$ г в тоннах;

г) $1,9 \cdot 10^{-2}$ т в килограммах.

а) Чтобы представить $2,85 \cdot 10^8$ сантиметров (см) в километрах (км), воспользуемся соотношениями единиц длины.
Мы знаем, что в 1 метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 10^2 \text{ см}$), а в 1 километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 10^3 \text{ м}$).
Следовательно, в 1 километре содержится $10^3 \cdot 10^2 = 10^5$ сантиметров.
Чтобы перевести сантиметры в километры, нужно разделить количество сантиметров на $10^5$.
$2,85 \cdot 10^8 \text{ см} = \frac{2,85 \cdot 10^8}{10^5} \text{ км} = 2,85 \cdot 10^{8-5} \text{ км} = 2,85 \cdot 10^3 \text{ км}$.
$2,85 \cdot 10^3 \text{ км} = 2,85 \cdot 1000 \text{ км} = 2850 \text{ км}$.
Ответ: $2850$ км.

б) Чтобы представить $4,6 \cdot 10^{-2}$ метров (м) в миллиметрах (мм), вспомним, что в 1 метре содержится 1000 миллиметров ($1 \text{ м} = 10^3 \text{ мм}$).
Для перевода метров в миллиметры нужно умножить значение на $10^3$.
$4,6 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 4,6 \cdot 10^{-2} \cdot 10^3 \text{ мм} = 4,6 \cdot 10^{-2+3} \text{ мм} = 4,6 \cdot 10^1 \text{ мм}$.
$4,6 \cdot 10^1 \text{ мм} = 4,6 \cdot 10 \text{ мм} = 46 \text{ мм}$.
Ответ: $46$ мм.

в) Чтобы представить $6,75 \cdot 10^{15}$ граммов (г) в тоннах (т), используем соотношения единиц массы.
В 1 килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 10^3 \text{ г}$), а в 1 тонне 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 10^3 \text{ кг}$).
Значит, в 1 тонне содержится $10^3 \cdot 10^3 = 10^6$ граммов.
Чтобы перевести граммы в тонны, необходимо разделить количество граммов на $10^6$.
$6,75 \cdot 10^{15} \text{ г} = \frac{6,75 \cdot 10^{15}}{10^6} \text{ т} = 6,75 \cdot 10^{15-6} \text{ т} = 6,75 \cdot 10^9 \text{ т}$.
Ответ: $6,75 \cdot 10^9$ т.

г) Чтобы представить $1,9 \cdot 10^{-2}$ тонн (т) в килограммах (кг), вспомним, что в 1 тонне 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 10^3 \text{ кг}$).
Для перевода тонн в килограммы нужно умножить значение на $10^3$.
$1,9 \cdot 10^{-2} \text{ т} = 1,9 \cdot 10^{-2} \cdot 10^3 \text{ кг} = 1,9 \cdot 10^{-2+3} \text{ кг} = 1,9 \cdot 10^1 \text{ кг}$.
$1,9 \cdot 10^1 \text{ кг} = 1,9 \cdot 10 \text{ кг} = 19 \text{ кг}$.
Ответ: $19$ кг.

1020. Выполните умножение:

а) $(3,25 \cdot 10^2) \cdot (1,4 \cdot 10^3);$

б) $(4,4 \cdot 10^{-3}) \cdot (5,2 \cdot 10^4).$

а) $(3,25 \cdot 10^2) \cdot (1,4 \cdot 10^3)$

Чтобы выполнить умножение чисел, представленных в стандартном виде, необходимо перемножить их мантиссы (числовые множители) и степени с основанием 10. Для этого воспользуемся переместительным и сочетательным законами умножения.

$(3,25 \cdot 10^2) \cdot (1,4 \cdot 10^3) = (3,25 \cdot 1,4) \cdot (10^2 \cdot 10^3)$

1. Вычислим произведение мантисс:

$3,25 \cdot 1,4 = 4,55$

2. Вычислим произведение степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$10^2 \cdot 10^3 = 10^{2+3} = 10^5$

3. Объединим полученные результаты:

$4,55 \cdot 10^5$

Результат уже представлен в стандартном виде, так как мантисса $4,55$ удовлетворяет условию $1 \le 4,55 < 10$.

Ответ: $4,55 \cdot 10^5$

б) $(4,4 \cdot 10^{-3}) \cdot (5,2 \cdot 10^4)$

Действуем аналогично предыдущему примеру, группируя мантиссы и степени.

$(4,4 \cdot 10^{-3}) \cdot (5,2 \cdot 10^4) = (4,4 \cdot 5,2) \cdot (10^{-3} \cdot 10^4)$

1. Вычислим произведение мантисс:

$4,4 \cdot 5,2 = 22,88$

2. Вычислим произведение степеней, сложив их показатели:

$10^{-3} \cdot 10^4 = 10^{-3+4} = 10^1$

3. Объединим результаты:

$22,88 \cdot 10^1$

4. Полученное число необходимо привести к стандартному виду, так как его мантисса $22,88$ больше 10. Для этого представим мантиссу в стандартном виде и упростим выражение:

$22,88 = 2,288 \cdot 10^1$

Подставим это в наше выражение:

$(2,288 \cdot 10^1) \cdot 10^1 = 2,288 \cdot 10^{1+1} = 2,288 \cdot 10^2$

Теперь результат записан в стандартном виде.

Ответ: $2,288 \cdot 10^2$

1021. Какой путь пройдёт свет за $2,8 \cdot 10^6$ с (скорость света равна $3 \cdot 10^5$ км/с)?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для нахождения пути при равномерном движении. Путь $S$ равен произведению скорости $v$ на время $t$. В данном случае скорость — это скорость света, которую принято обозначать буквой $c$. Таким образом, формула имеет вид: $S = c \cdot t$.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• Скорость света $c = 3 \cdot 10^5$ км/с.
• Время $t = 2,8 \cdot 10^6$ с.

Теперь подставим данные значения в формулу и выполним вычисления:

$S = (3 \cdot 10^5 \text{ км/с}) \cdot (2,8 \cdot 10^6 \text{ с})$

Чтобы перемножить числа в стандартном виде, мы отдельно перемножаем числовые коэффициенты и отдельно степени с основанием 10. При умножении степеней их показатели складываются.

$S = (3 \cdot 2,8) \cdot (10^5 \cdot 10^6) \text{ км}$

$S = 8,4 \cdot 10^{5+6} \text{ км}$

$S = 8,4 \cdot 10^{11} \text{ км}$

Таким образом, свет за указанное время пройдет путь, равный $8,4 \cdot 10^{11}$ километров.

Ответ: $8,4 \cdot 10^{11}$ км.

1022. (Для работы в парах.)

а) Масса Земли $6,0 \cdot 10^{24}$ кг, а масса Марса $6,4 \cdot 10^{23}$ кг. Что больше: масса Земли или масса Марса — и во сколько раз? Результат округлите до десятых.

б) Масса Юпитера $1,90 \cdot 10^{27}$ кг, а масса Венеры $4,87 \cdot 10^{24}$ кг. Что меньше: масса Юпитера или масса Венеры — и во сколько раз? Результат округлите до единиц.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены вычисления.

3) Исправьте допущенные ошибки.

4) Расположите указанные планеты в порядке возрастания их масс.

а) Для сравнения массы Земли ($M_З = 6,0 \cdot 10^{24}$ кг) и массы Марса ($M_М = 6,4 \cdot 10^{23}$ кг) приведем их к одному показателю степени 10.
Масса Марса: $M_М = 6,4 \cdot 10^{23}$ кг $= 0,64 \cdot 10^{24}$ кг.
Теперь сравним коэффициенты: $6,0 > 0,64$. Следовательно, масса Земли больше массы Марса.
Чтобы определить, во сколько раз масса Земли больше, разделим массу Земли на массу Марса:
$\frac{M_З}{M_М} = \frac{6,0 \cdot 10^{24}}{6,4 \cdot 10^{23}} = \frac{6,0}{0,64} = 9,375$
Согласно условию, результат необходимо округлить до десятых.
$9,375 \approx 9,4$.
Ответ: Масса Земли больше массы Марса примерно в 9,4 раза.

б) Сравним массу Юпитера ($M_Ю = 1,90 \cdot 10^{27}$ кг) и массу Венеры ($M_В = 4,87 \cdot 10^{24}$ кг).
Сравним показатели степени 10: у массы Юпитера показатель 27, а у массы Венеры — 24.
Поскольку $24 < 27$, масса Венеры меньше массы Юпитера.
Чтобы определить, во сколько раз масса Венеры меньше, разделим массу Юпитера на массу Венеры:
$\frac{M_Ю}{M_В} = \frac{1,90 \cdot 10^{27}}{4,87 \cdot 10^{24}} = \frac{1,90}{4,87} \cdot 10^{27-24} = \frac{1,90}{4,87} \cdot 10^3 = \frac{1900}{4,87} \approx 390,1437...$
Согласно условию, результат необходимо округлить до единиц.
$390,1437... \approx 390$.
Ответ: Масса Венеры меньше массы Юпитера примерно в 390 раз.

4) Расположим указанные планеты (Земля, Марс, Юпитер, Венера) в порядке возрастания их масс.
Массы планет:
Марс: $M_М = 6,4 \cdot 10^{23}$ кг
Венера: $M_В = 4,87 \cdot 10^{24}$ кг
Земля: $M_З = 6,0 \cdot 10^{24}$ кг
Юпитер: $M_Ю = 1,90 \cdot 10^{27}$ кг
Сравнивая числа, записанные в стандартном виде (сначала по показателю степени, затем по коэффициенту), получаем следующую последовательность неравенств:
$6,4 \cdot 10^{23} < 4,87 \cdot 10^{24} < 6,0 \cdot 10^{24} < 1,90 \cdot 10^{27}$
Таким образом, $M_М < M_В < M_З < M_Ю$.
Ответ: Марс, Венера, Земля, Юпитер.

1023. Плотность железа $7,8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$. Найдите массу железной плиты, длина которой 1,2 м, ширина $6 \cdot 10^{-1} \text{ м}$ и толщина $2,5 \cdot 10^{-1} \text{ м}$.

Для того чтобы найти массу железной плиты, необходимо сначала вычислить ее объем, а затем умножить его на плотность железа.

1. Найдем объем железной плиты.

Плита имеет форму прямоугольного параллелепипеда, ее объем $V$ равен произведению длины $l$, ширины $w$ и толщины $h$.

$$V = l \cdot w \cdot h$$

По условию задачи нам даны:

• Длина $l = 1,2 \text{ м}$
• Ширина $w = 6 \cdot 10^{-1} \text{ м} = 0,6 \text{ м}$
• Толщина $h = 2,5 \cdot 10^{-1} \text{ м} = 0,25 \text{ м}$

Подставим эти значения в формулу для объема:

$$V = 1,2 \text{ м} \cdot 0,6 \text{ м} \cdot 0,25 \text{ м} = 0,72 \text{ м}^2 \cdot 0,25 \text{ м} = 0,18 \text{ м}^3$$

2. Найдем массу железной плиты.

Масса $m$ вычисляется по формуле:

$$m = \rho \cdot V$$

где $\rho$ – плотность вещества. Плотность железа дана в условии: $\rho = 7,8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 = 7800 \text{ кг/м}^3$.

Теперь вычислим массу:

$$m = 7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,18 \text{ м}^3 = 1404 \text{ кг}$$

Ответ: 1404 кг.

1024. Найдите значение выражения $(2-\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

Для того чтобы найти значение выражения $(2-\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}}$, мы сначала упростим выражение под корнем $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

Наша цель — представить подкоренное выражение $7+4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата некоторой суммы, то есть в виде $(a+b)^2$. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Сравнивая $a^2+2ab+b^2$ с $7+4\sqrt{3}$, мы можем сопоставить члены. Мы ищем такие $a$ и $b$, для которых $a^2+b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$.

Из второго равенства получаем $ab = 2\sqrt{3}$. Методом подбора можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Проверим, выполняется ли для этой пары первое равенство: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Условие выполняется.

Следовательно, мы можем утверждать, что $7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$(2-\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}} = (2-\sqrt{3})\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$

Поскольку выражение $2+\sqrt{3}$ положительно, корень из его квадрата равен самому выражению:

$\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$

В результате исходное выражение превращается в произведение:

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$

Это выражение является формулой разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$. В нашем случае $x=2$ и $y=\sqrt{3}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Ответ: 1

1025. При каком значении $m$ сумма корней уравнения $3x^2 - 18x + m = 0$ равна произведению этих корней?

Дано квадратное уравнение $3x^2 - 18x + m = 0$. Это уравнение общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -18$, $c = m$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим коэффициенты из нашего уравнения в эти формулы:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-18}{3} = \frac{18}{3} = 6$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{m}{3}$

По условию задачи, сумма корней должна быть равна их произведению:
$x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2$

Приравняем полученные для нашего уравнения выражения для суммы и произведения корней:
$6 = \frac{m}{3}$

Теперь решим это простое уравнение, чтобы найти $m$:
$m = 6 \cdot 3$
$m = 18$

Важно убедиться, что при найденном значении $m$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 324 - 216 = 108$.
Поскольку $D = 108 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, наше решение верно.

Ответ: 18.

1026. Найдите целые отрицательные значения $x$, которые являются решением неравенства $\frac{4-3x}{2} - x < 11$.

Для того чтобы найти целые отрицательные значения $x$, которые являются решением неравенства, сначала необходимо решить само неравенство:

$ \frac{4-3x}{2} - x < 11 $

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 2. Знак неравенства при этом не меняется, так как 2 — положительное число:

$ 2 \cdot \frac{4-3x}{2} - 2 \cdot x < 2 \cdot 11 $

$ 4 - 3x - 2x < 22 $

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 4 - 5x < 22 $

Перенесем число 4 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$ -5x < 22 - 4 $

$ -5x < 18 $

Разделим обе части неравенства на -5. Важно помнить, что при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$ x > \frac{18}{-5} $

$ x > -3.6 $

Мы получили, что решением неравенства являются все числа, которые больше -3.6.

По условию задачи нам нужно найти все целые отрицательные значения $x$, удовлетворяющие этому условию.

Выпишем целые числа, которые больше -3.6: -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...

Из этого списка выберем только отрицательные числа. Это числа: -3, -2, -1.

Ответ: -3, -2, -1.

1027. Замените $a$ каким-либо натуральным числом так, чтобы не имела решений система неравенств:

а) $\begin{cases} 3x > 40,8, \\ 5x - a < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 1 - 6x < 19, \\ 4x - a < 6. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x > 40,8, \\ 5x - a < 0; \end{cases} $$ Для того чтобы найти значение $a$, при котором система не имеет решений, решим каждое неравенство относительно $x$.

1) Решаем первое неравенство:
$3x > 40,8$
$x > \frac{40,8}{3}$
$x > 13,6$

2) Решаем второе неравенство:
$5x - a < 0$
$5x < a$
$x < \frac{a}{5}$

Мы получили систему: $$ \begin{cases} x > 13,6, \\ x < \frac{a}{5}; \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение интервалов $(13,6; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{a}{5})$. Система не будет иметь решений, если эти интервалы не пересекаются. Это условие выполняется, когда верхняя граница второго интервала меньше или равна нижней границе первого: $$ \frac{a}{5} \le 13,6 $$ Теперь решим это неравенство относительно $a$: $$ a \le 13,6 \cdot 5 $$ $$ a \le 68 $$ По условию задачи, $a$ — натуральное число. Следовательно, мы можем выбрать любое натуральное число $a$, удовлетворяющее условию $a \le 68$. Например, $a=1$, $a=10$, или $a=68$.

Ответ: например, $a = 68$.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 1 - 6x < 19, \\ 4x - a < 6. \end{cases} $$ Так же, как и в предыдущем пункте, решим каждое неравенство относительно $x$.

1) Решаем первое неравенство:
$1 - 6x < 19$
$-6x < 19 - 1$
$-6x < 18$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{18}{-6}$
$x > -3$

2) Решаем второе неравенство:
$4x - a < 6$
$4x < a + 6$
$x < \frac{a + 6}{4}$

Мы получили систему: $$ \begin{cases} x > -3, \\ x < \frac{a + 6}{4}; \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение интервалов $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{a + 6}{4})$. Система не будет иметь решений, если эти интервалы не пересекаются. Это произойдет, если верхняя граница второго интервала будет меньше или равна нижней границе первого: $$ \frac{a + 6}{4} \le -3 $$ Решим полученное неравенство относительно $a$: $$ a + 6 \le -3 \cdot 4 $$ $$ a + 6 \le -12 $$ $$ a \le -12 - 6 $$ $$ a \le -18 $$ По условию, $a$ должно быть натуральным числом, то есть $a \in \{1, 2, 3, \ldots\}$. Однако, условие $a \le -18$ не выполняется ни для одного натурального числа. Это означает, что для любого натурального $a$ неравенство $\frac{a+6}{4} > -3$ будет верным, и система всегда будет иметь решения (интервал $(-3; \frac{a+6}{4})$ не будет пустым).

Ответ: не существует такого натурального числа $a$.