Страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1010. Решите уравнение

$\frac{2x - 7}{x + 1} + \frac{3x + 2}{x - 1} = 7$

Данное уравнение является дробно-рациональным.

$ \frac{2x - 7}{x + 1} + \frac{3x + 2}{x - 1} = 7 $

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 $

$ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $

Следовательно, ОДЗ: $x$ – любое число, кроме $-1$ и $1$.

Теперь приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $ (x + 1)(x - 1) $. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (x - 1) $, а второй — на $ (x + 1) $.

$ \frac{(2x - 7)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{(3x + 2)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 7 $

Выполним сложение дробей в левой части, записав сумму числителей над общим знаменателем:

$ \frac{(2x - 7)(x - 1) + (3x + 2)(x + 1)}{x^2 - 1} = 7 $

Раскроем скобки в числителе:

$ (2x - 7)(x - 1) = 2x^2 - 2x - 7x + 7 = 2x^2 - 9x + 7 $

$ (3x + 2)(x + 1) = 3x^2 + 3x + 2x + 2 = 3x^2 + 5x + 2 $

Подставим полученные выражения в числитель и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(2x^2 - 9x + 7) + (3x^2 + 5x + 2)}{x^2 - 1} = 7 $

$ \frac{5x^2 - 4x + 9}{x^2 - 1} = 7 $

Теперь, зная, что $x^2 - 1 \neq 0$ (согласно ОДЗ), мы можем умножить обе части уравнения на $x^2 - 1$:

$ 5x^2 - 4x + 9 = 7(x^2 - 1) $

$ 5x^2 - 4x + 9 = 7x^2 - 7 $

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 0 = 7x^2 - 5x^2 + 4x - 7 - 9 $

$ 2x^2 + 4x - 16 = 0 $

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $ x_1 + x_2 = -2 $

Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = -8 $

Методом подбора находим корни: $ x_1 = -4 $ и $ x_2 = 2 $.

Оба найденных корня ($ -4 $ и $ 2 $) входят в область допустимых значений, так как они не равны $-1$ и $1$.

Ответ: -4; 2.

1011. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{1}{|x| - x}$;

б) $y = \frac{1}{|x| + x}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.

а) $y = \frac{1}{|x| - x}$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $|x| - x$ обращается в ноль, и исключим их из области определения.

Решим уравнение:

$|x| - x = 0$

$|x| = x$

Это равенство по определению модуля верно для всех неотрицательных чисел, то есть при $x \ge 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Тогда знаменатель равен $x - x = 0$. Следовательно, все неотрицательные значения $x$ не входят в область определения функции.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда знаменатель равен $-x - x = -2x$. Поскольку $x < 0$, то $-2x \ne 0$. Следовательно, все отрицательные значения $x$ входят в область определения функции.

Таким образом, область определения функции — это множество всех отрицательных чисел, то есть $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

б) $y = \frac{1}{|x| + x}$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $|x| + x$ обращается в ноль, и исключим их из области определения.

Решим уравнение:

$|x| + x = 0$

$|x| = -x$

Это равенство по определению модуля верно для всех неположительных чисел, то есть при $x \le 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \le 0$, то $|x| = -x$. Тогда знаменатель равен $-x + x = 0$. Следовательно, все неположительные значения $x$ не входят в область определения функции.
2. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Тогда знаменатель равен $x + x = 2x$. Поскольку $x > 0$, то $2x \ne 0$. Следовательно, все положительные значения $x$ входят в область определения функции.

Таким образом, область определения функции — это множество всех положительных чисел, то есть $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; \infty)$.

1012. Сократите дробь $\frac{\overline{ac}}{abc}$, зная, что $b = a + c$.

Для того чтобы сократить данную дробь, представим числа $\overline{ac}$ и $\overline{abc}$ в виде суммы их разрядных слагаемых. В такой записи черта над буквенным выражением означает, что это не произведение переменных, а число, составленное из цифр, которые эти переменные обозначают.

Число $\overline{ac}$ — это двузначное число, где a — цифра в разряде десятков, а c — цифра в разряде единиц. Его можно записать как:
$\overline{ac} = 10a + c$

Число $\overline{abc}$ — это трехзначное число, где a — цифра в разряде сотен, b — в разряде десятков и c — в разряде единиц. Его можно записать как:
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

Теперь мы можем переписать исходную дробь, используя эти выражения:
$\frac{\overline{ac}}{\overline{abc}} = \frac{10a + c}{100a + 10b + c}$

Согласно условию задачи, $b = a + c$. Выполним подстановку этого выражения в знаменатель дроби:
$100a + 10b + c = 100a + 10(a + c) + c$

Раскроем скобки в знаменателе и приведем подобные слагаемые:
$100a + 10a + 10c + c = 110a + 11c$

В полученном выражении можно вынести за скобки общий множитель 11:
$110a + 11c = 11(10a + c)$

Теперь подставим упрощенное выражение знаменателя обратно в дробь:
$\frac{10a + c}{11(10a + c)}$

Мы видим, что и в числителе, и в знаменателе присутствует одинаковый множитель $(10a + c)$. Поскольку a — это первая цифра двузначного и трехзначного числа, она не может быть нулем ($a \ge 1$), а $c \ge 0$. Следовательно, выражение $10a + c$ всегда больше нуля. Это позволяет нам сократить дробь на этот общий множитель:
$\frac{1 \cdot (10a + c)}{11 \cdot (10a + c)} = \frac{1}{11}$

Ответ: $\frac{1}{11}$