Страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

980. Представьте в виде дроби выражение:

а) $a^{-2} + b^{-2};$

б) $xy^{-1} + xy^{-2};$

в) $(a + b^{-1})(a^{-1} - b);$

г) $(x - 2y^{-1})(x^{-1} + 2y).$

а) $a^{-2} + b^{-2}$

По определению степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Применим это правило к нашему выражению:

$a^{-2} + b^{-2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$

Чтобы сложить две дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{1}{b^2}$ равен $a^2b^2$.

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1 \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} + \frac{1 \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 + a^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$

б) $xy^{-1} + xy^{-2}$

Используем правило степени с отрицательным показателем $y^{-n} = \frac{1}{y^n}$:

$xy^{-1} + xy^{-2} = x \cdot \frac{1}{y} + x \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{x}{y} + \frac{x}{y^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y^2$:

$\frac{x}{y} + \frac{x}{y^2} = \frac{x \cdot y}{y \cdot y} + \frac{x}{y^2} = \frac{xy}{y^2} + \frac{x}{y^2} = \frac{xy + x}{y^2}$

В числителе можно вынести общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{x(y + 1)}{y^2}$

Ответ: $\frac{x(y + 1)}{y^2}$

в) $(a + b^{-1})(a^{-1} - b)$

Сначала преобразуем выражения в скобках, используя правило $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$a + b^{-1} = a + \frac{1}{b} = \frac{ab}{b} + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b}$

$a^{-1} - b = \frac{1}{a} - b = \frac{1}{a} - \frac{ab}{a} = \frac{1 - ab}{a}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$(\frac{ab + 1}{b}) \cdot (\frac{1 - ab}{a}) = \frac{(ab + 1)(1 - ab)}{ba}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(x+y)(y-x) = y^2 - x^2$. В нашем случае $(1 + ab)(1 - ab)$ соответствует этой формуле, где $y=1$ и $x=ab$:

$(1 + ab)(1 - ab) = 1^2 - (ab)^2 = 1 - a^2b^2$

Таким образом, получаем дробь:

$\frac{1 - a^2b^2}{ab}$

Ответ: $\frac{1 - a^2b^2}{ab}$

г) $(x - 2y^{-1})(x^{-1} + 2y)$

Преобразуем выражения в скобках, избавляясь от отрицательных степеней:

$x - 2y^{-1} = x - \frac{2}{y} = \frac{xy}{y} - \frac{2}{y} = \frac{xy - 2}{y}$

$x^{-1} + 2y = \frac{1}{x} + 2y = \frac{1}{x} + \frac{2yx}{x} = \frac{1 + 2xy}{x}$

Перемножим полученные дроби:

$(\frac{xy - 2}{y}) \cdot (\frac{1 + 2xy}{x}) = \frac{(xy - 2)(1 + 2xy)}{yx}$

Раскроем скобки в числителе:

$(xy - 2)(1 + 2xy) = xy \cdot 1 + xy \cdot 2xy - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2xy = xy + 2x^2y^2 - 2 - 4xy = 2x^2y^2 - 3xy - 2$

В результате получаем дробь:

$\frac{2x^2y^2 - 3xy - 2}{xy}$

Ответ: $\frac{2x^2y^2 - 3xy - 2}{xy}$

981. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $(a^{-1} + b^{-1})(a+b)^{-1}$;

б) $(a-b)^{-2}(a^{-2} - b^{-2})$.

а) $(a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1}$

Для преобразования выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем каждый из множителей в дробь:

$a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

$(a + b)^{-1} = \frac{1}{a + b}$

Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю $ab$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{b+a}{ab}$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное и перемножим их:

$(\frac{b+a}{ab}) \cdot (\frac{1}{a+b}) = \frac{a+b}{ab(a+b)}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии что $a+b \neq 0$:

$\frac{\cancel{a+b}}{ab(\cancel{a+b})} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

б) $(a - b)^{-2}(a^{-2} - b^{-2})$

Снова используем свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для преобразования выражения.

Преобразуем каждый из множителей:

$(a - b)^{-2} = \frac{1}{(a - b)^2}$

$a^{-2} - b^{-2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

Приведем разность дробей во второй скобке к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2-a^2}{a^2b^2}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$\frac{1}{(a-b)^2} \cdot \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2-a^2}{(a-b)^2 a^2b^2}$

Разложим числитель $b^2-a^2$ на множители, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$

Вынесем минус за скобки в выражении $(b-a)$, чтобы получить $(a-b)$: $b-a = -(a-b)$.

Подставим это в нашу дробь:

$\frac{-(a-b)(a+b)}{(a-b)^2 a^2b^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$, при условии что $a-b \neq 0$:

$\frac{-\cancel{(a-b)}(a+b)}{(a-b)^{\cancel{2}} a^2b^2} = \frac{-(a+b)}{(a-b)a^2b^2} = -\frac{a+b}{a^2b^2(a-b)}$

Ответ: $-\frac{a+b}{a^2b^2(a-b)}$

982. Найдите множество значений x, на котором функция $y = (x - 2)^{-1}$ принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения.

а) положительные значения

Чтобы найти множество значений $x$, на котором функция $y = (x - 2)^{-1}$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.
Запишем функцию в виде дроби: $y = \frac{1}{x-2}$.
Теперь решим неравенство: $\frac{1}{x-2} > 0$.
Дробь будет положительной в том случае, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель дроби равен 1, это положительное число. Следовательно, знаменатель также должен быть положителен:
$x - 2 > 0$
Перенесем 2 в правую часть неравенства:
$x > 2$
Это неравенство соответствует числовому промежутку $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) отрицательные значения

Чтобы найти множество значений $x$, на котором функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.
Используя дробное представление функции, получим неравенство: $\frac{1}{x-2} < 0$.
Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют противоположные знаки. Поскольку числитель (1) является положительным числом, знаменатель должен быть отрицательным:
$x - 2 < 0$
Перенесем 2 в правую часть неравенства:
$x < 2$
Это неравенство соответствует числовому промежутку $(-\infty; 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

983. При каких натуральных $n$ дробь $\frac{(n-7)^2}{n}$ принимает натуральные значения?

По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Нам необходимо найти все такие значения $n$, при которых дробь $\frac{(n-7)^2}{n}$ также принимает натуральные значения.

Для начала преобразуем данное выражение. Раскроем квадрат разности в числителе и выполним почленное деление:
$\frac{(n-7)^2}{n} = \frac{n^2 - 2 \cdot n \cdot 7 + 7^2}{n} = \frac{n^2 - 14n + 49}{n} = \frac{n^2}{n} - \frac{14n}{n} + \frac{49}{n} = n - 14 + \frac{49}{n}$

Пусть значение этого выражения равно $k$, где $k$ — натуральное число.
$k = n - 14 + \frac{49}{n}$

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $n - 14$ является целым числом. Для того чтобы сумма $n - 14 + \frac{49}{n}$ была целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{49}{n}$ также было целым числом. Это условие выполняется только тогда, когда $n$ является натуральным делителем числа 49.

Найдем все натуральные делители числа 49. Это числа: 1, 7, 49.

Теперь необходимо проверить каждое из найденных значений $n$ и убедиться, что при подстановке в исходную дробь получается натуральное число (то есть положительное целое число).

• При $n=1$:
  $\frac{(1-7)^2}{1} = \frac{(-6)^2}{1} = 36$.
  Число 36 является натуральным, поэтому $n=1$ подходит.
• При $n=7$:
  $\frac{(7-7)^2}{7} = \frac{0^2}{7} = 0$.
  Число 0 не является натуральным числом, поэтому $n=7$ не подходит.
• При $n=49$:
  $\frac{(49-7)^2}{49} = \frac{42^2}{49} = \frac{1764}{49} = 36$.
  Число 36 является натуральным, поэтому $n=49$ подходит.

Таким образом, дробь принимает натуральные значения только при двух натуральных значениях $n$.

Ответ: 1, 49.

984. Найдите коэффициент обратной пропорциональности, зная, что её график проходит через точку:

а) $A(1.5; 8)$;

б) $B(0.04; -25)$.

Функция обратной пропорциональности имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — это искомый коэффициент обратной пропорциональности. Чтобы найти этот коэффициент, зная, что график функции проходит через точку с координатами $(x_0; y_0)$, нужно подставить эти координаты в уравнение функции: $y_0 = \frac{k}{x_0}$. Отсюда можно выразить коэффициент $k$: $k = x_0 \cdot y_0$.

а)

График функции проходит через точку A(1,5; 8). Здесь $x = 1,5$ и $y = 8$.

Найдем коэффициент $k$, перемножив координаты точки:

$k = 1,5 \cdot 8 = 12$

Ответ: 12

б)

График функции проходит через точку B(0,04; –25). Здесь $x = 0,04$ и $y = -25$.

Найдем коэффициент $k$, перемножив координаты точки:

$k = 0,04 \cdot (-25) = -1$

Ответ: -1