Страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

954. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 0,3x - 1 < x + 0,4, \\ 2 - 3x < 5x + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2,5x - 0,12 > 0,6x + 0,07, \\ 1 - 2x > -x - 4; \end{cases}$

в) $ \begin{cases} 2x + 1,4 < \frac{3x - 7}{5}, \\ 2x > 3 - \frac{2x}{5}; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3(x - 2)(x + 2) - 3x^2 < x, \\ 5x - 4 > 4 - 5x; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} (x - 4)(5x - 1) - 5x^2 > x + 1, \\ 3x - 0,4 < 2x - 0,6; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} 1 + \frac{1 + x}{3} > \frac{2x - 1}{6} - 2, \\ 3x - \frac{x}{4} > 4. \end{cases} $

а)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 0,3x - 1 < x + 0,4 \\ 2 - 3x < 5x + 1 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$0,3x - 1 < x + 0,4$

$0,3x - x < 0,4 + 1$

$-0,7x < 1,4$

При делении на отрицательное число $(-0,7)$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{1,4}{-0,7}$

$x > -2$

2. Второе неравенство:

$2 - 3x < 5x + 1$

$2 - 1 < 5x + 3x$

$1 < 8x$

$\frac{1}{8} < x$, или $x > \frac{1}{8}$

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > -2$ и $x > \frac{1}{8}$.

Общим решением является промежуток, удовлетворяющий обоим условиям. Таким образом, $x > \frac{1}{8}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{8}; +\infty)$.

б)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 2,5x - 0,12 > 0,6x + 0,07 \\ 1 - 2x > -x - 4 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$2,5x - 0,12 > 0,6x + 0,07$

$2,5x - 0,6x > 0,07 + 0,12$

$1,9x > 0,19$

$x > \frac{0,19}{1,9}$

$x > 0,1$

2. Второе неравенство:

$1 - 2x > -x - 4$

$1 + 4 > 2x - x$

$5 > x$, или $x < 5$

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 0,1$ и $x < 5$.

Общим решением является интервал $0,1 < x < 5$.

Ответ: $x \in (0,1; 5)$.

в)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 2x + 1,4 < \frac{3x - 7}{5} \\ 2x > 3 - \frac{2x}{5} \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$2x + 1,4 < \frac{3x - 7}{5}$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5(2x + 1,4) < 3x - 7$

$10x + 7 < 3x - 7$

$10x - 3x < -7 - 7$

$7x < -14$

$x < \frac{-14}{7}$

$x < -2$

2. Второе неравенство:

$2x > 3 - \frac{2x}{5}$

Умножим обе части на 5:

$5(2x) > 5(3) - 5(\frac{2x}{5})$

$10x > 15 - 2x$

$10x + 2x > 15$

$12x > 15$

$x > \frac{15}{12}$

$x > \frac{5}{4}$

3. Найдем пересечение решений: $x < -2$ и $x > \frac{5}{4}$.

Нет такого числа, которое было бы одновременно меньше -2 и больше $\frac{5}{4}$. Следовательно, множества решений не пересекаются.

Ответ: нет решений.

г)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 3(x - 2)(x + 2) - 3x^2 < x \\ 5x - 4 > 4 - 5x \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$3(x^2 - 4) - 3x^2 < x$

$3x^2 - 12 - 3x^2 < x$

$-12 < x$, или $x > -12$

2. Второе неравенство:

$5x - 4 > 4 - 5x$

$5x + 5x > 4 + 4$

$10x > 8$

$x > \frac{8}{10}$

$x > 0,8$

3. Найдем пересечение решений: $x > -12$ и $x > 0,8$.

Общим решением является промежуток $x > 0,8$.

Ответ: $x \in (0,8; +\infty)$.

д)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} (x - 4)(5x - 1) - 5x^2 > x + 1 \\ 3x - 0,4 < 2x - 0,6 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$(x - 4)(5x - 1) - 5x^2 > x + 1$

Раскроем скобки:

$5x^2 - x - 20x + 4 - 5x^2 > x + 1$

$-21x + 4 > x + 1$

$4 - 1 > x + 21x$

$3 > 22x$

$\frac{3}{22} > x$, или $x < \frac{3}{22}$

2. Второе неравенство:

$3x - 0,4 < 2x - 0,6$

$3x - 2x < -0,6 + 0,4$

$x < -0,2$

3. Найдем пересечение решений: $x < \frac{3}{22}$ и $x < -0,2$.

Поскольку $-0,2 = -\frac{1}{5}$, а $\frac{3}{22}$ - положительное число, то $-0,2 < \frac{3}{22}$. Следовательно, общее решение - это $x < -0,2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,2)$.

е)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 1 + \frac{1 + x}{3} > \frac{2x - 1}{6} - 2 \\ 3x - \frac{x}{4} > 4 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$1 + \frac{1 + x}{3} > \frac{2x - 1}{6} - 2$

Умножим обе части на общий знаменатель 6:

$6 \cdot 1 + 6 \cdot \frac{1 + x}{3} > 6 \cdot \frac{2x - 1}{6} - 6 \cdot 2$

$6 + 2(1 + x) > (2x - 1) - 12$

$6 + 2 + 2x > 2x - 13$

$8 + 2x > 2x - 13$

$8 > -13$

Это неравенство является верным числовым неравенством, поэтому оно выполняется для любого значения $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Второе неравенство:

$3x - \frac{x}{4} > 4$

Умножим обе части на 4:

$4(3x) - 4(\frac{x}{4}) > 4(4)$

$12x - x > 16$

$11x > 16$

$x > \frac{16}{11}$

3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x > \frac{16}{11}$.

Пересечением этих множеств является промежуток $x > \frac{16}{11}$.

Ответ: $x \in (\frac{16}{11}; +\infty)$.

955. Найдите целые решения системы неравенств:

а) $\begin{cases}6x(x - 1) - 3x(2x - 1) < x, \\0,5x - 3,7 < 0,2x - 0,7;\end{cases}$

б) $\begin{cases}0,7x - 3(0,2x + 1) \le 0,5x + 1, \\0,3(1 - x) + 0,8x \ge x + 5,3;\end{cases}$

В) $\begin{cases}\frac{1}{3}(3x - 2) + \frac{1}{6}(12x + 1) > 0, \\\frac{1}{7}(14x - 21) + \frac{2}{9}(9x - 6) < 0;\end{cases}$

Г) $\begin{cases}0,2(5x - 1) + \frac{1}{3}(3x + 1) < x + 5,8, \\8x - 7 - \frac{1}{6}(6x - 2) > x.\end{cases}$

а) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 6x(x - 1) - 3x(2x - 1) < x, \\ 0,5x - 3,7 < 0,2x - 0,7; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:
$6x^2 - 6x - (6x^2 - 3x) < x$
$6x^2 - 6x - 6x^2 + 3x < x$
$-3x < x$
$-3x - x < 0$
$-4x < 0$
Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства:
$x > 0$

2. Решим второе неравенство:
$0,5x - 3,7 < 0,2x - 0,7$
$0,5x - 0,2x < 3,7 - 0,7$
$0,3x < 3$
Разделим обе части на 0,3:
$x < 10$

3. Найдем пересечение решений: $x > 0$ и $x < 10$.
Решением системы является интервал $x \in (0; 10)$.
Целые числа, входящие в этот интервал: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

б) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 0,7x - 3(0,2x + 1) \le 0,5x + 1, \\ 0,3(1 - x) + 0,8x \ge x + 5,3; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:
$0,7x - 0,6x - 3 \le 0,5x + 1$
$0,1x - 3 \le 0,5x + 1$
$0,1x - 0,5x \le 1 + 3$
$-0,4x \le 4$
Разделим обе части на -0,4 и сменим знак неравенства:
$x \ge -10$

2. Решим второе неравенство:
$0,3 - 0,3x + 0,8x \ge x + 5,3$
$0,3 + 0,5x \ge x + 5,3$
$0,5x - x \ge 5,3 - 0,3$
$-0,5x \ge 5$
Разделим обе части на -0,5 и сменим знак неравенства:
$x \le -10$

3. Найдем пересечение решений: $x \ge -10$ и $x \le -10$.
Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = -10$.
Это целое число.
Ответ: -10.

в) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} \frac{1}{3}(3x - 2) + \frac{1}{6}(12x + 1) > 0, \\ \frac{1}{7}(14x - 21) + \frac{2}{9}(9x - 6) < 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство. Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей:
$2(3x - 2) + (12x + 1) > 0$
$6x - 4 + 12x + 1 > 0$
$18x - 3 > 0$
$18x > 3$
$x > \frac{3}{18}$
$x > \frac{1}{6}$

2. Решим второе неравенство. Раскроем скобки:
$(\frac{14}{7}x - \frac{21}{7}) + (\frac{18}{9}x - \frac{12}{9}) < 0$
$2x - 3 + 2x - \frac{4}{3} < 0$
$4x - 3 - \frac{4}{3} < 0$
$4x - \frac{9}{3} - \frac{4}{3} < 0$
$4x - \frac{13}{3} < 0$
$4x < \frac{13}{3}$
$x < \frac{13}{12}$

3. Найдем пересечение решений: $\frac{1}{6} < x < \frac{13}{12}$.
Так как $\frac{1}{6} \approx 0,167$ и $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12} \approx 1,083$, то искомый интервал $( \frac{1}{6}; \frac{13}{12} )$.
Единственное целое число в этом интервале — это 1.
Ответ: 1.

г) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 0,2(5x - 1) + \frac{1}{3}(3x + 1) < x + 5,8, \\ 8x - 7 - \frac{1}{6}(6x - 2) > x. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:
$x - 0,2 + x + \frac{1}{3} < x + 5,8$
$2x - 0,2 + \frac{1}{3} < x + 5,8$
$2x - x < 5,8 + 0,2 - \frac{1}{3}$
$x < 6 - \frac{1}{3}$
$x < \frac{18}{3} - \frac{1}{3}$
$x < \frac{17}{3}$

2. Решим второе неравенство:
$8x - 7 - (\frac{6}{6}x - \frac{2}{6}) > x$
$8x - 7 - (x - \frac{1}{3}) > x$
$8x - 7 - x + \frac{1}{3} > x$
$7x - 7 + \frac{1}{3} > x$
$7x - x > 7 - \frac{1}{3}$
$6x > \frac{21}{3} - \frac{1}{3}$
$6x > \frac{20}{3}$
$x > \frac{20}{3 \cdot 6}$
$x > \frac{20}{18}$
$x > \frac{10}{9}$

3. Найдем пересечение решений: $\frac{10}{9} < x < \frac{17}{3}$.
Так как $\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9} \approx 1,11$ и $\frac{17}{3} = 5\frac{2}{3} \approx 5,67$, то искомый интервал $( 1\frac{1}{9}; 5\frac{2}{3} )$.
Целые числа, входящие в этот интервал: 2, 3, 4, 5.
Ответ: 2, 3, 4, 5.

956. Решите двойное неравенство:

а) $-9 < 3x < 18$;

б) $1 < \frac{2x-1}{2} < 2$;

в) $3 \le 5x-1 \le 4$;

г) $0 \le \frac{1-x}{3} \le 1$.

а) Чтобы решить двойное неравенство $-9 < 3x < 18$, разделим все его части на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:

$\frac{-9}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{18}{3}$

$-3 < x < 6$

Решением является интервал $(-3; 6)$.

Ответ: $(-3; 6)$

б) В неравенстве $1 < \frac{2x - 1}{2} < 2$ сначала умножим все три части на 2, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется, так как 2 — положительное число:

$1 \cdot 2 < \frac{2x - 1}{2} \cdot 2 < 2 \cdot 2$

$2 < 2x - 1 < 4$

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы выделить слагаемое с $x$:

$2 + 1 < 2x - 1 + 1 < 4 + 1$

$3 < 2x < 5$

Наконец, разделим все части на 2:

$\frac{3}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{5}{2}$

$1.5 < x < 2.5$

Решением является интервал $(1.5; 2.5)$.

Ответ: $(1.5; 2.5)$

в) Для решения неравенства $3 \le 5x - 1 \le 4$ сначала прибавим 1 ко всем его частям:

$3 + 1 \le 5x - 1 + 1 \le 4 + 1$

$4 \le 5x \le 5$

Теперь разделим все части на 5 (положительное число, знаки не меняются):

$\frac{4}{5} \le \frac{5x}{5} \le \frac{5}{5}$

$0.8 \le x \le 1$

Решением является отрезок $[0.8; 1]$.

Ответ: $[0.8; 1]$

г) В неравенстве $0 \le \frac{1 - x}{3} \le 1$ умножим все три части на 3:

$0 \cdot 3 \le \frac{1 - x}{3} \cdot 3 \le 1 \cdot 3$

$0 \le 1 - x \le 3$

Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства:

$0 - 1 \le 1 - x - 1 \le 3 - 1$

$-1 \le -x \le 2$

Чтобы найти $x$, умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot (-1) \ge -x \cdot (-1) \ge 2 \cdot (-1)$

$1 \ge x \ge -2$

Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-2 \le x \le 1$

Решением является отрезок $[-2; 1]$.

Ответ: $[-2; 1]$

957. a) При каких $x$ значение выражения $2x - 4$ принадлежит интервалу $(-1; 5)$?

б) При каких $x$ значение дроби $\frac{x-5}{2}$ принадлежит числовому отрезку $[0; 5]$?

в) При каких $x$ значения функции $y = -\frac{1}{3}x + 8$ принадлежат интервалу $(-1; 1)$?

г) При каких $x$ значения функции $y = -2,5x + 6$ принадлежат числовому отрезку $[-6; -2]$?

а) Чтобы найти значения $x$, при которых выражение $2x - 4$ принадлежит интервалу $(-1; 5)$, необходимо решить двойное неравенство:

$-1 < 2x - 4 < 5$

Сначала прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$-1 + 4 < 2x - 4 + 4 < 5 + 4$

$3 < 2x < 9$

Затем разделим все части неравенства на 2:

$\frac{3}{2} < x < \frac{9}{2}$

$1,5 < x < 4,5$

Таким образом, искомые значения $x$ принадлежат интервалу $(1,5; 4,5)$.

Ответ: $x \in (1,5; 4,5)$.

б) Условие, что значение дроби $\frac{x-5}{2}$ принадлежит числовому отрезку $[0; 5]$, записывается в виде двойного неравенства:

$0 \le \frac{x-5}{2} \le 5$

Умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$0 \cdot 2 \le x - 5 \le 5 \cdot 2$

$0 \le x - 5 \le 10$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$0 + 5 \le x - 5 + 5 \le 10 + 5$

$5 \le x \le 15$

Следовательно, $x$ должен принадлежать отрезку $[5; 15]$.

Ответ: $x \in [5; 15]$.

в) Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = -\frac{1}{3}x + 8$ принадлежат интервалу $(-1; 1)$. Это означает, что $y$ должен удовлетворять неравенству $-1 < y < 1$. Подставим выражение для $y$:

$-1 < -\frac{1}{3}x + 8 < 1$

Вычтем 8 из всех частей неравенства:

$-1 - 8 < -\frac{1}{3}x < 1 - 8$

$-9 < -\frac{1}{3}x < -7$

Умножим все части на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-9 \cdot (-3) > x > -7 \cdot (-3)$

$27 > x > 21$

Запишем результат в стандартном виде (от меньшего к большему):

$21 < x < 27$

Следовательно, $x$ должен принадлежать интервалу $(21; 27)$.

Ответ: $x \in (21; 27)$.

г) Требуется найти значения $x$, для которых значения функции $y = -2,5x + 6$ принадлежат числовому отрезку $[-6; -2]$. Запишем это как двойное неравенство для $y$: $-6 \le y \le -2$. Подставим выражение для $y$:

$-6 \le -2,5x + 6 \le -2$

Вычтем 6 из всех частей неравенства:

$-6 - 6 \le -2,5x \le -2 - 6$

$-12 \le -2,5x \le -8$

Разделим все части на -2,5. Так как мы делим на отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\frac{-12}{-2,5} \ge x \ge \frac{-8}{-2,5}$

$4,8 \ge x \ge 3,2$

Запишем результат в стандартном виде:

$3,2 \le x \le 4,8$

Следовательно, $x$ должен принадлежать отрезку $[3,2; 4,8]$.

Ответ: $x \in [3,2; 4,8]$.