Страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

964. Замените степень с целым отрицательным показателем дробью:

а) $10^{-6}$;

б) $9^{-2}$;

в) $a^{-1}$;

г) $x^{-20}$;

д) $(ab)^{-3}$;

е) $(a+b)^{-4}$.

Для замены степени с целым отрицательным показателем на дробь используется свойство: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a \neq 0$ и $n$ — целое положительное число. Это означает, что мы заменяем степень дробью, в числителе которой стоит 1, а в знаменателе — то же основание, но с противоположным (положительным) показателем степени.

а) Дано выражение $10^{-6}$. Здесь основание $a=10$, а показатель степени $-6$. Применяем правило, где $n=6$:
$10^{-6} = \frac{1}{10^6}$
Вычисляем знаменатель: $10^6 = 1000000$.
Следовательно, получаем дробь $\frac{1}{1000000}$.
Ответ: $\frac{1}{1000000}$.

б) Дано выражение $9^{-2}$. Здесь основание $a=9$, а показатель степени $-2$. Применяем правило, где $n=2$:
$9^{-2} = \frac{1}{9^2}$
Вычисляем знаменатель: $9^2 = 81$.
Следовательно, получаем дробь $\frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$.

в) Дано выражение $a^{-1}$. Здесь основание равно $a$, а показатель степени $-1$. Применяем правило, где $n=1$:
$a^{-1} = \frac{1}{a^1}$
Так как любое число в первой степени равно самому себе ($a^1=a$), получаем:
$a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$.

г) Дано выражение $x^{-20}$. Здесь основание равно $x$, а показатель степени $-20$. Применяем правило, где $n=20$:
$x^{-20} = \frac{1}{x^{20}}$.
Ответ: $\frac{1}{x^{20}}$.

д) Дано выражение $(ab)^{-3}$. Здесь основанием является произведение $(ab)$, а показатель степени $-3$. Применяем правило, где $n=3$:
$(ab)^{-3} = \frac{1}{(ab)^3}$.
Ответ: $\frac{1}{(ab)^3}$.

е) Дано выражение $(a+b)^{-4}$. Здесь основанием является сумма $(a+b)$, а показатель степени $-4$. Применяем правило, где $n=4$:
$(a+b)^{-4} = \frac{1}{(a+b)^4}$.
Ответ: $\frac{1}{(a+b)^4}$.

965. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:

а) $ \frac{1}{10^2}; $ б) $ \frac{1}{6^7}; $ в) $ \frac{1}{x^7}; $ г) $ \frac{1}{y^{10}}; $ д) $ \frac{1}{7}. $

Для решения данной задачи используется определение степени с целым отрицательным показателем. Для любого числа $a$, не равного нулю, и любого натурального числа $n$ справедливо равенство: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Это правило позволяет заменить дробь, в числителе которой стоит 1, на степень с отрицательным показателем.

а) В дроби $\frac{1}{10^2}$ основание степени $a = 10$, а показатель $n = 2$. Применяя указанное выше правило, получаем:
$\frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.
Ответ: $10^{-2}$.

б) В дроби $\frac{1}{6^7}$ основание степени $a = 6$, а показатель $n = 7$. Используя то же правило, преобразуем дробь в степень:
$\frac{1}{6^7} = 6^{-7}$.
Ответ: $6^{-7}$.

в) Для дроби $\frac{1}{x^7}$ основанием является переменная $x$, а показателем — число $7$. Преобразование справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Применяем правило:
$\frac{1}{x^7} = x^{-7}$.
Ответ: $x^{-7}$.

г) В дроби $\frac{1}{y^{10}}$ основание $a = y$, а показатель $n = 10$. При условии $y \neq 0$, заменяем дробь на степень с отрицательным показателем:
$\frac{1}{y^{10}} = y^{-10}$.
Ответ: $y^{-10}$.

д) В знаменателе дроби $\frac{1}{7}$ стоит число 7. Любое число можно представить как это же число в первой степени, то есть $7 = 7^1$. Таким образом, дробь можно переписать в виде $\frac{1}{7^1}$. Теперь, когда знаменатель представлен в виде степени, мы можем применить правило, где основание $a = 7$ и показатель $n = 1$:
$\frac{1}{7} = \frac{1}{7^1} = 7^{-1}$.
Ответ: $7^{-1}$.

966. Представьте числа:

а) 8, 4, 2, 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{8}$ в виде степени с основанием 2;

б) $\frac{1}{125}$, $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{5}$, 1, 5, 25, 125 в виде степени с основанием 5.

а) Чтобы представить числа $8, 4, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ и $\frac{1}{8}$ в виде степени с основанием 2, необходимо найти показатель степени, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить каждое из заданных чисел. Для этого используются следующие свойства степеней:

• Степень с натуральным показателем: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n множителей).
• Степень с показателем 1: $a^1 = a$.
• Степень с нулевым показателем: $a^0 = 1$ (для любого $a \neq 0$).
• Степень с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (для любого $a \neq 0$ и натурального n).

Применим эти правила для каждого числа:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$2 = 2^1$
$1 = 2^0$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1}$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
Ответ: $8=2^3$; $4=2^2$; $2=2^1$; $1=2^0$; $\frac{1}{2}=2^{-1}$; $\frac{1}{4}=2^{-2}$; $\frac{1}{8}=2^{-3}$.

б) Аналогично представим числа $\frac{1}{125}, \frac{1}{25}, \frac{1}{5}, 1, 5, 25, 125$ в виде степени с основанием 5, используя те же свойства степеней.

Выполним преобразования для каждого числа:

$\frac{1}{125}$: Поскольку $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$, то $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$.
$\frac{1}{25}$: Поскольку $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$, то $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.
$\frac{1}{5} = \frac{1}{5^1} = 5^{-1}$
$1 = 5^0$
$5 = 5^1$
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$
Ответ: $\frac{1}{125}=5^{-3}$; $\frac{1}{25}=5^{-2}$; $\frac{1}{5}=5^{-1}$; $1=5^0$; $5=5^1$; $25=5^2$; $125=5^3$.

967. Представьте числа:

а) $\frac{1}{81}, \frac{1}{27}, \frac{1}{9}, \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27, 81$ в виде степени с основанием 3;

б) $100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001$ в виде степени с основанием 10.

а) Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием 3, необходимо вспомнить определение и свойства степени с целым показателем. В частности, любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($a^0 = 1$), а степень с отрицательным показателем определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Найдем степени числа 3, которые дают знаменатели дробей и целые числа:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$

Теперь представим каждое число из списка в виде степени с основанием 3:
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
$\frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} = 3^{-1}$
$1 = 3^0$
$3 = 3^1$
$9 = 3^2$
$27 = 3^3$
$81 = 3^4$

Ответ: $\frac{1}{81}=3^{-4}; \frac{1}{27}=3^{-3}; \frac{1}{9}=3^{-2}; \frac{1}{3}=3^{-1}; 1=3^0; 3=3^1; 9=3^2; 27=3^3; 81=3^4$.

б) Аналогично представим числа в виде степени с основанием 10. Десятичные дроби для удобства можно сначала записать в виде обыкновенных.

$100 = 10 \cdot 10 = 10^2$
$10 = 10^1$
$1 = 10^0$
$0.1 = \frac{1}{10} = \frac{1}{10^1} = 10^{-1}$
$0.01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$
$0.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$
$0.0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$

Ответ: $100=10^2; 10=10^1; 1=10^0; 0.1=10^{-1}; 0.01=10^{-2}; 0.001=10^{-3}; 0.0001=10^{-4}$.

968. Вычислите:

а) $4^{-2}$;

б) $(-3)^{-3}$;

в) $(-1)^{-9}$;

г) $(-1)^{-20}$;

д) $(\frac{1}{7})^{-2}$;

е) $(-\frac{2}{3})^{-3}$;

ж) $(1\frac{1}{2})^{-5}$;

з) $(-2\frac{2}{5})^{-2}$;

и) $0,01^{-2}$;

к) $1,125^{-1}$.

а) По определению степени с целым отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$).
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

б) $(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$.
Ответ: $-\frac{1}{27}$

в) $(-1)^{-9} = \frac{1}{(-1)^9} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$

г) $(-1)^{-20} = \frac{1}{(-1)^{20}}$. Так как показатель степени $20$ — четное число, $(-1)^{20} = 1$.
$\frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $1$

д) Для возведения дроби в отрицательную степень используется правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{7})^{-2} = (\frac{7}{1})^2 = 7^2 = 49$.
Ответ: $49$

е) $(-\frac{2}{3})^{-3} = (-\frac{3}{2})^3$. Так как показатель степени $3$ — нечетное число, знак минус сохраняется.
$(-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$.
Ответ: $-\frac{27}{8}$

ж) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Теперь возводим в степень: $(1\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{3}{2})^{-5} = (\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$.
Ответ: $\frac{32}{243}$

з) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{2}{5} = -(\frac{5 \cdot 2 + 2}{5}) = -\frac{12}{5}$.
Возводим в степень: $(-2\frac{2}{5})^{-2} = (-\frac{12}{5})^{-2} = (-\frac{5}{12})^2$. Так как показатель степени $2$ — четное число, знак минус исчезает.
$(-\frac{5}{12})^2 = \frac{5^2}{12^2} = \frac{25}{144}$.
Ответ: $\frac{25}{144}$

и) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,01 = \frac{1}{100}$.
Тогда $0,01^{-2} = (\frac{1}{100})^{-2} = (\frac{100}{1})^2 = 100^2 = 10000$.
Ответ: $10000$

к) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной и сократим ее: $1,125 = \frac{1125}{1000} = \frac{125 \cdot 9}{125 \cdot 8} = \frac{9}{8}$.
Тогда $1,125^{-1} = (\frac{9}{8})^{-1} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9}$

969. Найдите значение выражения:

а) $-10^{-4};$

б) $-0,2^{-3};$

в) $(-0,8)^{-2};$

г) $(-0,5)^{-5};$

д) $-(-2)^{-3};$

е) $-(-3)^{-2}.$

а) Для выражения $-10^{-4}$ сначала вычисляется степень, а затем применяется унарный минус. Степень с отрицательным показателем определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$ -10^{-4} = -(10^{-4}) = -\frac{1}{10^4} = -\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} = -\frac{1}{10000} = -0,0001 $

Ответ: $-0,0001$.

б) В выражении $-0,2^{-3}$ порядок действий аналогичен предыдущему примеру. Сначала вычислим $0,2^{-3}$. Удобнее представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$ -0,2^{-3} = -((\frac{1}{5})^{-3}) = -(\frac{5}{1})^3 = -5^3 = -(5 \cdot 5 \cdot 5) = -125 $

Ответ: $-125$.

в) В выражении $(-0,8)^{-2}$ в степень возводится отрицательное число $(-0,8)$. Так как показатель степени $(-2)$ является четным числом, результат будет положительным. Представим основание в виде обыкновенной дроби: $-0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$.

$ (-0,8)^{-2} = (-\frac{4}{5})^{-2} = (\frac{1}{-\frac{4}{5}})^2 = (-\frac{5}{4})^2 = \frac{(-5)^2}{4^2} = \frac{25}{16} $

Чтобы перевести в десятичную дробь, разделим числитель на знаменатель: $25 \div 16 = 1,5625$.

Ответ: $1,5625$.

г) В выражении $(-0,5)^{-5}$ основание степени - отрицательное число $(-0,5)$, а показатель степени $(-5)$ - нечетный. Следовательно, результат будет отрицательным. Представим $-0,5$ как $-\frac{1}{2}$.

$ (-0,5)^{-5} = (-\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{1}{-\frac{1}{2}})^5 = (-2)^5 = -32 $

Ответ: $-32$.

д) В выражении $-(-2)^{-3}$ сначала необходимо вычислить значение степени $(-2)^{-3}$. Основание $(-2)$ отрицательное, а показатель $(-3)$ нечетный, поэтому результат будет отрицательным.

$ (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8} $

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$ -(-2)^{-3} = -(-\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} $

В виде десятичной дроби: $\frac{1}{8} = 0,125$.

Ответ: $0,125$.

е) В выражении $-(-3)^{-2}$ сначала вычисляем степень $(-3)^{-2}$. Основание $(-3)$ отрицательное, а показатель $(-2)$ четный, поэтому результат возведения в степень будет положительным.

$ (-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9} $

Далее применяем унарный минус, стоящий перед скобками:

$ -(-3)^{-2} = -(\frac{1}{9}) = -\frac{1}{9} $

Ответ: $-\frac{1}{9}$.