Номер 968, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 968, страница 215.

968. Вычислите:

а) $4^{-2}$;

б) $(-3)^{-3}$;

в) $(-1)^{-9}$;

г) $(-1)^{-20}$;

д) $(\frac{1}{7})^{-2}$;

е) $(-\frac{2}{3})^{-3}$;

ж) $(1\frac{1}{2})^{-5}$;

з) $(-2\frac{2}{5})^{-2}$;

и) $0,01^{-2}$;

к) $1,125^{-1}$.

а) По определению степени с целым отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$).
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

б) $(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$.
Ответ: $-\frac{1}{27}$

в) $(-1)^{-9} = \frac{1}{(-1)^9} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$

г) $(-1)^{-20} = \frac{1}{(-1)^{20}}$. Так как показатель степени $20$ — четное число, $(-1)^{20} = 1$.
$\frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $1$

д) Для возведения дроби в отрицательную степень используется правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{7})^{-2} = (\frac{7}{1})^2 = 7^2 = 49$.
Ответ: $49$

е) $(-\frac{2}{3})^{-3} = (-\frac{3}{2})^3$. Так как показатель степени $3$ — нечетное число, знак минус сохраняется.
$(-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$.
Ответ: $-\frac{27}{8}$

ж) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Теперь возводим в степень: $(1\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{3}{2})^{-5} = (\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$.
Ответ: $\frac{32}{243}$

з) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{2}{5} = -(\frac{5 \cdot 2 + 2}{5}) = -\frac{12}{5}$.
Возводим в степень: $(-2\frac{2}{5})^{-2} = (-\frac{12}{5})^{-2} = (-\frac{5}{12})^2$. Так как показатель степени $2$ — четное число, знак минус исчезает.
$(-\frac{5}{12})^2 = \frac{5^2}{12^2} = \frac{25}{144}$.
Ответ: $\frac{25}{144}$

и) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,01 = \frac{1}{100}$.
Тогда $0,01^{-2} = (\frac{1}{100})^{-2} = (\frac{100}{1})^2 = 100^2 = 10000$.
Ответ: $10000$

к) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной и сократим ее: $1,125 = \frac{1125}{1000} = \frac{125 \cdot 9}{125 \cdot 8} = \frac{9}{8}$.
Тогда $1,125^{-1} = (\frac{9}{8})^{-1} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9}$