Номер 961, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 961, страница 212.

961. При каких значениях $b$ уравнение

$x^2 - (2b - 2)x + b^2 - 2b = 0$

имеет два корня, принадлежащие интервалу $(-5; 5)$?

Рассмотрим данное квадратное уравнение относительно переменной x: $x^2 - (2b - 2)x + b^2 - 2b = 0$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ этого уравнения: $D = (-(2b - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - 2b) = (2b - 2)^2 - 4(b^2 - 2b) = (4b^2 - 8b + 4) - (4b^2 - 8b) = 4$.

Поскольку дискриминант $D = 4 > 0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $b$. Найдем эти корни по формуле корней квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-(2b - 2)) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{2b - 2 \pm 2}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2b - 2 - 2}{2} = \frac{2b - 4}{2} = b - 2$ и $x_2 = \frac{2b - 2 + 2}{2} = \frac{2b}{2} = b$.

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать интервалу $(-5; 5)$. Это означает, что должны одновременно выполняться два неравенства, которые составляют систему: $$ \begin{cases} -5 < b - 2 < 5 \\ -5 < b < 5 \end{cases} $$

Решим первое двойное неравенство, прибавив 2 ко всем его частям: $-5 + 2 < b < 5 + 2$, что равносильно $-3 < b < 7$.

Теперь необходимо найти значения $b$, удовлетворяющие обоим неравенствам системы одновременно. Для этого найдем пересечение интервалов, соответствующих решениям каждого неравенства: $b \in (-3; 7)$ и $b \in (-5; 5)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-3; 5)$.

Ответ: $b \in (-3; 5)$.