Номер 954, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 954, страница 211.

954. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 0,3x - 1 < x + 0,4, \\ 2 - 3x < 5x + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2,5x - 0,12 > 0,6x + 0,07, \\ 1 - 2x > -x - 4; \end{cases}$

в) $ \begin{cases} 2x + 1,4 < \frac{3x - 7}{5}, \\ 2x > 3 - \frac{2x}{5}; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3(x - 2)(x + 2) - 3x^2 < x, \\ 5x - 4 > 4 - 5x; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} (x - 4)(5x - 1) - 5x^2 > x + 1, \\ 3x - 0,4 < 2x - 0,6; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} 1 + \frac{1 + x}{3} > \frac{2x - 1}{6} - 2, \\ 3x - \frac{x}{4} > 4. \end{cases} $

а)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 0,3x - 1 < x + 0,4 \\ 2 - 3x < 5x + 1 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$0,3x - 1 < x + 0,4$

$0,3x - x < 0,4 + 1$

$-0,7x < 1,4$

При делении на отрицательное число $(-0,7)$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{1,4}{-0,7}$

$x > -2$

2. Второе неравенство:

$2 - 3x < 5x + 1$

$2 - 1 < 5x + 3x$

$1 < 8x$

$\frac{1}{8} < x$, или $x > \frac{1}{8}$

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > -2$ и $x > \frac{1}{8}$.

Общим решением является промежуток, удовлетворяющий обоим условиям. Таким образом, $x > \frac{1}{8}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{8}; +\infty)$.

б)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 2,5x - 0,12 > 0,6x + 0,07 \\ 1 - 2x > -x - 4 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$2,5x - 0,12 > 0,6x + 0,07$

$2,5x - 0,6x > 0,07 + 0,12$

$1,9x > 0,19$

$x > \frac{0,19}{1,9}$

$x > 0,1$

2. Второе неравенство:

$1 - 2x > -x - 4$

$1 + 4 > 2x - x$

$5 > x$, или $x < 5$

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 0,1$ и $x < 5$.

Общим решением является интервал $0,1 < x < 5$.

Ответ: $x \in (0,1; 5)$.

в)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 2x + 1,4 < \frac{3x - 7}{5} \\ 2x > 3 - \frac{2x}{5} \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$2x + 1,4 < \frac{3x - 7}{5}$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5(2x + 1,4) < 3x - 7$

$10x + 7 < 3x - 7$

$10x - 3x < -7 - 7$

$7x < -14$

$x < \frac{-14}{7}$

$x < -2$

2. Второе неравенство:

$2x > 3 - \frac{2x}{5}$

Умножим обе части на 5:

$5(2x) > 5(3) - 5(\frac{2x}{5})$

$10x > 15 - 2x$

$10x + 2x > 15$

$12x > 15$

$x > \frac{15}{12}$

$x > \frac{5}{4}$

3. Найдем пересечение решений: $x < -2$ и $x > \frac{5}{4}$.

Нет такого числа, которое было бы одновременно меньше -2 и больше $\frac{5}{4}$. Следовательно, множества решений не пересекаются.

Ответ: нет решений.

г)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 3(x - 2)(x + 2) - 3x^2 < x \\ 5x - 4 > 4 - 5x \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$3(x^2 - 4) - 3x^2 < x$

$3x^2 - 12 - 3x^2 < x$

$-12 < x$, или $x > -12$

2. Второе неравенство:

$5x - 4 > 4 - 5x$

$5x + 5x > 4 + 4$

$10x > 8$

$x > \frac{8}{10}$

$x > 0,8$

3. Найдем пересечение решений: $x > -12$ и $x > 0,8$.

Общим решением является промежуток $x > 0,8$.

Ответ: $x \in (0,8; +\infty)$.

д)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} (x - 4)(5x - 1) - 5x^2 > x + 1 \\ 3x - 0,4 < 2x - 0,6 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$(x - 4)(5x - 1) - 5x^2 > x + 1$

Раскроем скобки:

$5x^2 - x - 20x + 4 - 5x^2 > x + 1$

$-21x + 4 > x + 1$

$4 - 1 > x + 21x$

$3 > 22x$

$\frac{3}{22} > x$, или $x < \frac{3}{22}$

2. Второе неравенство:

$3x - 0,4 < 2x - 0,6$

$3x - 2x < -0,6 + 0,4$

$x < -0,2$

3. Найдем пересечение решений: $x < \frac{3}{22}$ и $x < -0,2$.

Поскольку $-0,2 = -\frac{1}{5}$, а $\frac{3}{22}$ - положительное число, то $-0,2 < \frac{3}{22}$. Следовательно, общее решение - это $x < -0,2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,2)$.

е)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 1 + \frac{1 + x}{3} > \frac{2x - 1}{6} - 2 \\ 3x - \frac{x}{4} > 4 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Первое неравенство:

$1 + \frac{1 + x}{3} > \frac{2x - 1}{6} - 2$

Умножим обе части на общий знаменатель 6:

$6 \cdot 1 + 6 \cdot \frac{1 + x}{3} > 6 \cdot \frac{2x - 1}{6} - 6 \cdot 2$

$6 + 2(1 + x) > (2x - 1) - 12$

$6 + 2 + 2x > 2x - 13$

$8 + 2x > 2x - 13$

$8 > -13$

Это неравенство является верным числовым неравенством, поэтому оно выполняется для любого значения $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Второе неравенство:

$3x - \frac{x}{4} > 4$

Умножим обе части на 4:

$4(3x) - 4(\frac{x}{4}) > 4(4)$

$12x - x > 16$

$11x > 16$

$x > \frac{16}{11}$

3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x > \frac{16}{11}$.

Пересечением этих множеств является промежуток $x > \frac{16}{11}$.

Ответ: $x \in (\frac{16}{11}; +\infty)$.