Номер 948, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 948, страница 210.

948. При каких значениях m верно равенство:

a) $|2m - 16| = 2m - 16;$

б) $\frac{|12 - 6m|}{12 - 6m} = 1;$

в) $|m + 6| = -m - 6;$

г) $\frac{|10m - 35|}{10m - 35} = -1?$

а) Равенство вида $|A| = A$ верно тогда и только тогда, когда подмодульное выражение $A$ неотрицательно. В данном случае, $A = 2m - 16$.
Следовательно, для выполнения равенства $|2m - 16| = 2m - 16$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:
$2m - 16 \ge 0$
Перенесем 16 в правую часть:
$2m \ge 16$
Разделим обе части на 2:
$m \ge 8$
Равенство верно при всех значениях $m$, больших или равных 8.
Ответ: $m \in [8; +\infty)$.

б) Равенство вида $\frac{|A|}{A} = 1$ верно тогда и только тогда, когда выражение $A$ строго положительно, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. В данном случае, $A = 12 - 6m$.
Следовательно, для выполнения равенства $\frac{|12 - 6m|}{12 - 6m} = 1$ необходимо, чтобы выполнялось строгое неравенство:
$12 - 6m > 0$
Перенесем $6m$ в правую часть:
$12 > 6m$
Разделим обе части на 6:
$2 > m$, что эквивалентно $m < 2$.
Равенство верно при всех значениях $m$, строго меньших 2.
Ответ: $m \in (-\infty; 2)$.

в) Исходное равенство: $|m + 6| = -m - 6$.
Вынесем знак минус в правой части за скобки: $-m - 6 = -(m + 6)$.
Тогда равенство принимает вид: $|m + 6| = -(m + 6)$.
Равенство вида $|A| = -A$ верно тогда и только тогда, когда подмодульное выражение $A$ неположительно. В данном случае, $A = m + 6$.
Следовательно, должно выполняться неравенство:
$m + 6 \le 0$
Перенесем 6 в правую часть:
$m \le -6$
Равенство верно при всех значениях $m$, меньших или равных -6.
Ответ: $m \in (-\infty; -6]$.

г) Равенство вида $\frac{|A|}{A} = -1$ верно тогда и только тогда, когда выражение $A$ строго отрицательно, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. В данном случае, $A = 10m - 35$.
Следовательно, для выполнения равенства $\frac{|10m - 35|}{10m - 35} = -1$ необходимо, чтобы выполнялось строгое неравенство:
$10m - 35 < 0$
Перенесем 35 в правую часть:
$10m < 35$
Разделим обе части на 10:
$m < \frac{35}{10}$
$m < 3.5$
Равенство верно при всех значениях $m$, строго меньших 3.5.
Ответ: $m \in (-\infty; 3.5)$.