Номер 944, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 944, страница 209.

944. При каких значениях x:

a) значение дроби $ \frac{3x-8}{12} $ больше соответствующего значения дроби $ \frac{x-1}{4} $;

б) значение дроби $ \frac{x+1}{3} $ меньше соответствующего значения дроби $ \frac{2x+3}{6} $?

а)

Чтобы найти значения $x$, при которых значение дроби $ \frac{3x-8}{12} $ больше соответствующего значения дроби $ \frac{x-1}{4} $, составим и решим неравенство:

$ \frac{3x-8}{12} > \frac{x-1}{4} $

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 12. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$ 12 \cdot \frac{3x-8}{12} > 12 \cdot \frac{x-1}{4} $

$ 3x-8 > 3(x-1) $

Теперь раскроем скобки в правой части неравенства:

$ 3x-8 > 3x-3 $

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.

$ 3x - 3x > -3 + 8 $

$ 0 > 5 $

Мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Чтобы найти значения $x$, при которых значение дроби $ \frac{x+1}{3} $ меньше соответствующего значения дроби $ \frac{2x+3}{6} $, составим и решим неравенство:

$ \frac{x+1}{3} < \frac{2x+3}{6} $

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6. Знак неравенства при этом не изменится.

$ 6 \cdot \frac{x+1}{3} < 6 \cdot \frac{2x+3}{6} $

$ 2(x+1) < 2x+3 $

Раскроем скобки в левой части:

$ 2x+2 < 2x+3 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую.

$ 2x - 2x < 3 - 2 $

$ 0 < 1 $

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x$ — любое число.