Номер 941, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 941, страница 209.

941. При каких значениях a верно неравенство:

а) $ \frac{a-1}{4}-1>\frac{a+1}{3}+8; $

б) $ \frac{3a-1}{2}-\frac{a-1}{4}>0; $

в) $ \frac{1-2a}{4}-2<\frac{1-5a}{8}; $

г) $ \frac{5a}{6}-\frac{3a-1}{3}+\frac{2a-1}{2}<1? $

а)

Решим неравенство $ \frac{a-1}{4} - 1 > \frac{a+1}{3} + 8 $.

Сначала приведем обе части неравенства к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12. Умножим обе части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей:

$ 12 \cdot (\frac{a-1}{4} - 1) > 12 \cdot (\frac{a+1}{3} + 8) $

$ \frac{12(a-1)}{4} - 12 \cdot 1 > \frac{12(a+1)}{3} + 12 \cdot 8 $

$ 3(a-1) - 12 > 4(a+1) + 96 $

Раскроем скобки:

$ 3a - 3 - 12 > 4a + 4 + 96 $

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$ 3a - 15 > 4a + 100 $

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $a$, в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$ 3a - 4a > 100 + 15 $

$ -a > 115 $

Умножим обе части на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$ a < -115 $

Ответ: $ a \in (-\infty; -115) $.

б)

Решим неравенство $ \frac{3a-1}{2} - \frac{a-1}{4} > 0 $.

Найдем наименьший общий знаменатель для 2 и 4, который равен 4. Умножим обе части неравенства на 4:

$ 4 \cdot (\frac{3a-1}{2} - \frac{a-1}{4}) > 4 \cdot 0 $

$ \frac{4(3a-1)}{2} - \frac{4(a-1)}{4} > 0 $

$ 2(3a-1) - (a-1) > 0 $

Раскроем скобки:

$ 6a - 2 - a + 1 > 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 5a - 1 > 0 $

Перенесем числовое слагаемое в правую часть:

$ 5a > 1 $

Разделим обе части на 5:

$ a > \frac{1}{5} $

Ответ: $ a \in (\frac{1}{5}; +\infty) $.

в)

Решим неравенство $ \frac{1-2a}{4} - 2 < \frac{1-5a}{8} $.

Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 равен 8. Умножим обе части неравенства на 8:

$ 8 \cdot (\frac{1-2a}{4} - 2) < 8 \cdot (\frac{1-5a}{8}) $

$ \frac{8(1-2a)}{4} - 8 \cdot 2 < 1-5a $

$ 2(1-2a) - 16 < 1-5a $

Раскроем скобки:

$ 2 - 4a - 16 < 1 - 5a $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ -4a - 14 < 1 - 5a $

Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а числа — в правую:

$ -4a + 5a < 1 + 14 $

$ a < 15 $

Ответ: $ a \in (-\infty; 15) $.

г)

Решим неравенство $ \frac{5a}{6} - \frac{3a-1}{3} + \frac{2a-1}{2} < 1 $.

Наименьший общий знаменатель для 6, 3 и 2 равен 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$ 6 \cdot (\frac{5a}{6} - \frac{3a-1}{3} + \frac{2a-1}{2}) < 6 \cdot 1 $

$ \frac{6 \cdot 5a}{6} - \frac{6(3a-1)}{3} + \frac{6(2a-1)}{2} < 6 $

$ 5a - 2(3a-1) + 3(2a-1) < 6 $

Раскроем скобки:

$ 5a - 6a + 2 + 6a - 3 < 6 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (5a - 6a + 6a) + (2 - 3) < 6 $

$ 5a - 1 < 6 $

Перенесем числовое слагаемое в правую часть:

$ 5a < 6 + 1 $

$ 5a < 7 $

Разделим обе части на 5:

$ a < \frac{7}{5} $

Ответ: $ a \in (-\infty; \frac{7}{5}) $.