Номер 943, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 943, страница 209.

943. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству:

a) $3(5-4x) + 2(14+x) > 0$;

б) $(x+1)(x-1) - (x^2 - 3x) \le 14.$

a) $3(5-4x)+2(14+x) > 0$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$3 \cdot 5 - 3 \cdot 4x + 2 \cdot 14 + 2 \cdot x > 0$

$15 - 12x + 28 + 2x > 0$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав числа и слагаемые с переменной $x$:

$(15 + 28) + (-12x + 2x) > 0$

$43 - 10x > 0$

Перенесем 43 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$-10x > -43$

Разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с ">" на "<"):

$x < \frac{-43}{-10}$

$x < 4.3$

Согласно условию задачи, необходимо найти все натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Искомые числа — это те натуральные числа, которые меньше 4.3.

Это числа: 1, 2, 3, 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

б) $(x+1)(x-1) - (x^2-3x) \le 14$

Раскроем скобки в левой части неравенства. Выражение $(x+1)(x-1)$ является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(x^2 - 1^2) - (x^2 - 3x) \le 14$

$(x^2 - 1) - x^2 + 3x \le 14$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + 3x - 1 \le 14$

$0 + 3x - 1 \le 14$

$3x - 1 \le 14$

Перенесем -1 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$3x \le 14 + 1$

$3x \le 15$

Разделим обе части неравенства на 3 (знак неравенства не меняется, так как 3 — положительное число):

$x \le \frac{15}{3}$

$x \le 5$

Нам нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству. Это натуральные числа, которые меньше или равны 5.

Это числа: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.