Номер 936, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 936, страница 208.

936. Верно ли, что:

а) $(-5; 5) \cap (-3; 2) = (-3; 2);$

б) $(4; 11) \cup (0; 6) = (4; 6);$

в) $(-\infty; 4) \cup (1; +\infty) = (-\infty; +\infty);$

г) $(-\infty; 2) \cap (-2; +\infty) = (-2; 2)?$

а) Проверим утверждение $(-5; 5) \cap (-3; 2) = (-3; 2)$.

Знак $\cap$ обозначает пересечение множеств. Пересечение двух числовых промежутков — это множество, содержащее все числа, которые принадлежат каждому из этих промежутков. В данном случае мы ищем числа $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $-5 < x < 5$ и $-3 < x < 2$.

Представим эти промежутки на числовой оси. Промежуток $(-3; 2)$ полностью находится внутри промежутка $(-5; 5)$, так как $-5 < -3$ и $2 < 5$. Следовательно, их общая часть (пересечение) совпадает с промежутком $(-3; 2)$.

Таким образом, равенство $(-5; 5) \cap (-3; 2) = (-3; 2)$ является верным.

Ответ: верно.

б) Проверим утверждение $(4; 11) \cup (0; 6) = (4; 6)$.

Знак $\cup$ обозначает объединение множеств. Объединение двух числовых промежутков — это множество, содержащее все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков.

Первый промежуток $(4; 11)$ содержит числа $x$, для которых $4 < x < 11$. Второй промежуток $(0; 6)$ содержит числа $x$, для которых $0 < x < 6$.

Объединяя эти два множества, мы получаем все числа, которые либо больше 0 и меньше 6, либо больше 4 и меньше 11. Эти промежутки пересекаются. Самое меньшее число в объединении стремится к 0, а самое большее — к 11. Таким образом, объединение этих промежутков есть интервал $(0; 11)$.

Равенство $(4; 11) \cup (0; 6) = (4; 6)$ неверно. Отметим, что промежуток $(4; 6)$ является пересечением данных промежутков: $(4; 11) \cap (0; 6) = (4; 6)$.

Ответ: неверно.

в) Проверим утверждение $(-\infty; 4) \cup (1; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Знак $\cup$ обозначает объединение множеств. Мы объединяем множество всех чисел, меньших 4 (промежуток $(-\infty; 4)$), и множество всех чисел, больших 1 (промежуток $(1; +\infty)$).

Первый промежуток покрывает всю числовую прямую левее точки 4. Второй промежуток покрывает всю числовую прямую правее точки 1. Так как эти промежутки перекрываются (на интервале $(1; 4)$), их объединение покрывает всю числовую прямую без пропусков. Любое действительное число либо меньше 4, либо больше 1, поэтому любое действительное число попадает в объединение.

Множество всех действительных чисел обозначается как $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

г) Проверим утверждение $(-\infty; 2) \cap (-2; +\infty) = (-2; 2)$.

Знак $\cap$ обозначает пересечение множеств. Мы ищем числа $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $x < 2$ (принадлежат промежутку $(-\infty; 2)$) и $x > -2$ (принадлежат промежутку $(-2; +\infty)$).

Записав эти два неравенства вместе, мы получим двойное неравенство: $-2 < x < 2$.

Это двойное неравенство как раз и определяет числовой промежуток (интервал) $(-2; 2)$.

Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: верно.