Номер 934, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 934, страница 208.

934. Принадлежит ли промежутку $(7; 17]$ число 7,01? Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в промежутке $(7; 17]$ наименьшее число? наибольшее число?

Принадлежит ли промежутку (7; 17] число 7,01? Промежуток $(7; 17]$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых выполняется двойное неравенство $7 < x \le 17$. Левая граница (число 7) не включается в промежуток, а правая граница (число 17) включается.
Чтобы проверить, принадлежит ли число 7,01 этому промежутку, необходимо подставить его в неравенство:
$7 < 7,01 \le 17$.
Это неравенство состоит из двух частей:
1. $7 < 7,01$ — это верное утверждение.
2. $7,01 \le 17$ — это также верное утверждение.
Поскольку оба условия выполняются, число 7,01 принадлежит данному промежутку.
Ответ: да, принадлежит.

Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку? Да, можно. Нам необходимо найти такое число $x$, которое одновременно удовлетворяет трем условиям: $x < 7,01$, $x > 7$ и $x \le 17$. Фактически, нам нужно найти любое число в интервале $(7; 7,01)$.
Между любыми двумя различными действительными числами всегда существует бесконечное множество других чисел. В качестве примера можно взять среднее арифметическое чисел 7 и 7,01:
$x = \frac{7 + 7,01}{2} = \frac{14,01}{2} = 7,005$.
Число 7,005 удовлетворяет всем условиям: оно меньше 7,01 и находится в промежутке $(7; 17]$, так как $7 < 7,005 \le 17$.
Другие примеры: 7,001; 7,002; 7,0099.
Ответ: да, можно, например, число 7,005.

Существует ли в промежутке (7; 17] наименьшее число? В промежутке $(7; 17]$ наименьшего числа не существует.
Левая граница промежутка, число 7, не включена в него (на это указывает круглая скобка). Это означает, что все числа $x$ в промежутке должны быть строго больше 7 ($x > 7$).
Если мы предположим, что существует наименьшее число в этом промежутке, назовем его $m$, то для него должно выполняться условие $7 < m$. Но тогда всегда можно найти другое число, например, $x = \frac{7+m}{2}$, которое будет удовлетворять неравенству $7 < x < m$. Это число $x$ также будет принадлежать промежутку $(7; 17]$, но оно будет меньше $m$. Это противоречит нашему предположению, что $m$ — наименьшее число. Так можно продолжать до бесконечности, находя все меньшие и меньшие числа, которые все еще больше 7. Таким образом, наименьшего элемента в данном множестве нет.
Ответ: нет, не существует.

наибольшее число? Наибольшее число в промежутке $(7; 17]$ существует.
Правая граница промежутка, число 17, включена в него (на это указывает квадратная скобка). Это означает, что все числа $x$ в промежутке должны быть меньше или равны 17 ($x \le 17$).
Само число 17 удовлетворяет условиям промежутка, так как $7 < 17$ и $17 \le 17$. Поскольку ни одно число в этом промежутке не может быть больше 17, а само число 17 в него входит, то 17 и является наибольшим числом в данном промежутке.
Ответ: да, существует, это число 17.