Номер 930, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 930, страница 208.

930. Оцените значение выражения:

а) $a + 2b$, если $0 < a < 1$ и $-3 < b < -2$;

б) $\frac{1}{2}a - b$, если $7 < a < 10$ и $14 < b < 15$.

а)

По условию нам даны два неравенства: $0 < a < 1$ и $-3 < b < -2$.

Чтобы оценить значение выражения $a + 2b$, нам необходимо сначала оценить значение $2b$. Для этого умножим все части неравенства $-3 < b < -2$ на 2. Так как 2 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot (-3) < 2 \cdot b < 2 \cdot (-2)$

$-6 < 2b < -4$

Теперь у нас есть два неравенства одинакового знака, которые мы можем почленно сложить:

$\begin{array}{c} + \\ \phantom{x} \end{array} \begin{array}{rcccl} 0 & < & a & < & 1 \\ -6 & < & 2b & < & -4 \\ \hline 0+(-6) & < & a+2b & < & 1+(-4) \end{array}$

Выполним сложение:

$-6 < a + 2b < -3$

Таким образом, значение выражения $a + 2b$ находится в интервале от -6 до -3.

Ответ: $-6 < a + 2b < -3$.

б)

По условию нам даны неравенства: $7 < a < 10$ и $14 < b < 15$.

Нам нужно оценить значение выражения $\frac{1}{2}a - b$. Для этого представим его в виде суммы $\frac{1}{2}a + (-b)$ и оценим каждое слагаемое по отдельности.

1. Оценим $\frac{1}{2}a$. Умножим все части неравенства $7 < a < 10$ на положительное число $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot 7 < \frac{1}{2} \cdot a < \frac{1}{2} \cdot 10$

$3.5 < \frac{1}{2}a < 5$

2. Оценим $-b$. Для этого умножим все части неравенства $14 < b < 15$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 14 > -1 \cdot b > -1 \cdot 15$

$-14 > -b > -15$

Для удобства сложения запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-15 < -b < -14$

3. Теперь сложим почленно полученные неравенства для $\frac{1}{2}a$ и $-b$:

$\begin{array}{c} + \\ \phantom{x} \end{array} \begin{array}{rcccl} 3.5 & < & \frac{1}{2}a & < & 5 \\ -15 & < & -b & < & -14 \\ \hline 3.5+(-15) & < & \frac{1}{2}a - b & < & 5+(-14) \end{array}$

Выполним вычисления:

$-11.5 < \frac{1}{2}a - b < -9$

Таким образом, значение выражения $\frac{1}{2}a - b$ находится в интервале от -11.5 до -9.

Ответ: $-11.5 < \frac{1}{2}a - b < -9$.