Номер 923, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 923, страница 207.

923. Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся основным свойством сторон треугольника — неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Пусть даны стороны треугольника с длинами $a$, $b$ и $c$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$.

Полупериметр $p$ — это половина периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{a + b + c}{2}$.

Нам необходимо доказать, что полупериметр больше каждой из сторон. То есть, нужно доказать справедливость трех неравенств:

• $p > a$
• $p > b$
• $p > c$

Докажем первое неравенство $p > a$. Доказательства для двух других сторон будут полностью аналогичны.

Подставим в неравенство $p > a$ выражение для полупериметра:
$\frac{a + b + c}{2} > a$

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$a + b + c > 2a$

Вычтем из обеих частей неравенства сторону $a$:
$(a + b + c) - a > 2a - a$
$b + c > a$

Мы получили неравенство $b + c > a$, которое является одним из трех неравенств треугольника и всегда является истинным для любого треугольника. Поскольку все наши преобразования были равносильными, исходное неравенство $p > a$ также истинно.

Аналогично, исходя из неравенства треугольника $a + c > b$, можно доказать, что $p > b$. А из неравенства $a + b > c$ следует, что $p > c$.

Таким образом, мы доказали, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.

Ответ: Утверждение доказано. Неравенство $p > a$ (где $p$ — полупериметр, $a$ — сторона треугольника) эквивалентно неравенству треугольника $b+c > a$, которое всегда истинно. Аналогичные рассуждения верны для двух других сторон, $b$ и $c$.