Номер 921, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 921, страница 207.

921. (Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?

1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.

2) Введите обозначения: $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде; $y$ км/ч и $z$ км/ч — скорости течения первой и второй рек; $s$ км — расстояние, на которое отплывала лодка.

3) Запишите формулы для вычисления времени $t_1$ ч и $t_2$ ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.

4) Найдите разность $t_1 - t_2$ и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.

5) Подтвердилось ли ваше предположение?

1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.

Можно предположить, что чем быстрее течение реки, тем больше времени займет весь путь туда и обратно. Хотя по течению лодка будет двигаться быстрее, замедление при движении против течения будет более значительным. Следовательно, во второй день, на реке с более быстрым течением, лодка затратит больше времени.
Ответ: На весь путь больше времени будет затрачено во второй день.

2) Введите обозначения: $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде; $y$ км/ч и $z$ км/ч — скорости течения первой и второй рек; $s$ км — расстояние, на которое отплывала лодка.

Согласно условию, введены следующие обозначения:

• $x$ — собственная скорость лодки (км/ч).
• $y$ — скорость течения первой реки (км/ч).
• $z$ — скорость течения второй реки (км/ч).
• $s$ — расстояние в один конец (км).

По условию вторая река более быстрая, значит $z > y$. Также, чтобы лодка могла вернуться обратно, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > z$ и $x > y$. Поскольку $z > y$, достаточно условия $x > z$.
Ответ: Обозначения введены: $x > 0, s > 0, x > z > y > 0$.

3) Запишите формулы для вычисления времени $t_1$ ч и $t_2$ ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.

Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.
В первый день ($t_1$):
Время по течению: $\frac{s}{x+y}$
Время против течения: $\frac{s}{x-y}$
Общее время $t_1$ равно сумме времени движения по течению и против течения: $t_1 = \frac{s}{x+y} + \frac{s}{x-y} = \frac{s(x-y) + s(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{sx - sy + sx + sy}{x^2 - y^2} = \frac{2sx}{x^2 - y^2}$.

Во второй день ($t_2$):
Время по течению: $\frac{s}{x+z}$
Время против течения: $\frac{s}{x-z}$
Общее время $t_2$ равно: $t_2 = \frac{s}{x+z} + \frac{s}{x-z} = \frac{s(x-z) + s(x+z)}{(x+z)(x-z)} = \frac{sx - sz + sx + sz}{x^2 - z^2} = \frac{2sx}{x^2 - z^2}$.
Ответ: $t_1 = \frac{2sx}{x^2 - y^2}$ ч; $t_2 = \frac{2sx}{x^2 - z^2}$ ч.

4) Найдите разность $t_1 - t_2$ и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.

Найдем разность времени $t_1 - t_2$:
$t_1 - t_2 = \frac{2sx}{x^2 - y^2} - \frac{2sx}{x^2 - z^2}$
Вынесем общий множитель $2sx$ за скобки:
$t_1 - t_2 = 2sx \left( \frac{1}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x^2 - z^2} \right)$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$t_1 - t_2 = 2sx \left( \frac{(x^2 - z^2) - (x^2 - y^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)} \right) = 2sx \frac{x^2 - z^2 - x^2 + y^2}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)} = 2sx \frac{y^2 - z^2}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)}$
Теперь оценим знак полученного выражения.

• $s > 0$ и $x > 0$, следовательно, множитель $2sx > 0$.
• По условию $z > y > 0$, значит $z^2 > y^2$, и разность $y^2 - z^2 < 0$. Числитель дроби отрицательный.
• Так как $x > z > y$, то $x^2 > z^2 > y^2$. Поэтому $x^2 - y^2 > 0$ и $x^2 - z^2 > 0$. Знаменатель дроби является произведением двух положительных чисел, значит, он положителен.

Таким образом, разность $t_1 - t_2$ является произведением положительного числа ($2sx$) и отрицательной дроби ($\frac{y^2 - z^2}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)}$), следовательно, $t_1 - t_2 < 0$.
Если $t_1 - t_2 < 0$, то $t_1 < t_2$. Это означает, что во второй день времени было затрачено больше.
Ответ: Разность $t_1 - t_2 = \frac{2sx(y^2 - z^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)}$. Так как эта разность отрицательна, то $t_2 > t_1$. Лодка затратила больше времени во второй день.

5) Подтвердилось ли ваше предположение?

Да, математический расчет полностью подтвердил первоначальное предположение о том, что на реке с более быстрым течением общее время в пути будет больше.
Ответ: Да, предположение подтвердилось.