Номер 916, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 916, страница 206.

916. Докажите неравенство:

а) $(x+1)^2 \geq 4x;$

б) $(3b+1)^2 > 6b;$

в) $4(x+2) < (x+3)^2 - 2x;$

г) $1 + (m+2)^2 > 3(2m-1).$

а) Для доказательства неравенства $(x + 1)^2 \geq 4x$ перенесем все члены в левую часть и преобразуем выражение:
$(x + 1)^2 - 4x \geq 0$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 2x + 1 - 4x \geq 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 2x + 1 \geq 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 1)^2 \geq 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, полученное неравенство верно при любом значении $x$. Это доказывает исходное неравенство.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $(3b + 1)^2 > 6b$ перенесем все члены в левую часть и упростим:
$(3b + 1)^2 - 6b > 0$
Раскроем скобки:
$(9b^2 + 6b + 1) - 6b > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$9b^2 + 1 > 0$
Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \geq 0$). Поэтому $9b^2$ также всегда неотрицательно ($9b^2 \geq 0$). Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет строго больше нуля ($9b^2 + 1 \geq 1 > 0$). Таким образом, неравенство верно при любом значении $b$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Для доказательства неравенства $4(x + 2) < (x + 3)^2 - 2x$ раскроем скобки в обеих частях:
$4x + 8 < x^2 + 6x + 9 - 2x$
Упростим правую часть:
$4x + 8 < x^2 + 4x + 9$
Перенесем все члены из левой части в правую, чтобы сгруппировать их:
$0 < (x^2 + 4x + 9) - (4x + 8)$
$0 < x^2 + 4x + 9 - 4x - 8$
Приведем подобные слагаемые:
$0 < x^2 + 1$
Это неравенство можно записать как $x^2 + 1 > 0$. Так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \geq 1$, что всегда больше нуля. Следовательно, неравенство верно при любом значении $x$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Для доказательства неравенства $1 + (m + 2)^2 > 3(2m - 1)$ раскроем скобки и преобразуем выражение:
$1 + (m^2 + 4m + 4) > 6m - 3$
Упростим левую часть:
$m^2 + 4m + 5 > 6m - 3$
Перенесем все члены в левую часть:
$m^2 + 4m + 5 - 6m + 3 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$m^2 - 2m + 8 > 0$
Чтобы доказать это неравенство, выделим в левой части полный квадрат:
$(m^2 - 2m + 1) + 7 > 0$
$(m - 1)^2 + 7 > 0$
Выражение $(m - 1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(m - 1)^2 \geq 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 7, результат будет не меньше 7, а значит, всегда строго больше нуля. Таким образом, неравенство верно при любом значении $m$.
Ответ: Неравенство доказано.