Номер 920, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 920, страница 207.

920. В каком случае катер затратит больше времени: если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он пройдёт 40 км в стоячей воде?

Чтобы определить, в каком случае катер затратит больше времени, необходимо сравнить время движения в двух сценариях. Для этого введем переменные и составим математические выражения для каждого случая.

Пусть $v_k$ — это собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), а $v_t$ — скорость течения реки. Оба значения положительны ($v_k > 0$, $v_t > 0$). Для того чтобы катер мог плыть против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v_k > v_t$.

1. Время движения по реке (20 км по течению и 20 км против течения)

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения и равна $v_k + v_t$. Время, затраченное на 20 км по течению, составляет:

$t_1 = \frac{20}{v_k + v_t}$

Когда катер движется против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_k - v_t$. Время, затраченное на 20 км против течения, составляет:

$t_2 = \frac{20}{v_k - v_t}$

Общее время движения по реке $T_{река}$ равно сумме $t_1$ и $t_2$:

$T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{20}{v_k + v_t} + \frac{20}{v_k - v_t}$

Приведем выражение к общему знаменателю $(v_k + v_t)(v_k - v_t) = v_k^2 - v_t^2$:

$T_{река} = \frac{20(v_k - v_t) + 20(v_k + v_t)}{(v_k + v_t)(v_k - v_t)} = \frac{20v_k - 20v_t + 20v_k + 20v_t}{v_k^2 - v_t^2} = \frac{40v_k}{v_k^2 - v_t^2}$

2. Время движения в стоячей воде (40 км)

В стоячей воде (например, в озере) скорость катера равна его собственной скорости $v_k$. Время, затраченное на 40 км пути, составляет:

$T_{озеро} = \frac{40}{v_k}$

Сравнение времен

Теперь сравним полученные выражения для общего времени $T_{река}$ и $T_{озеро}$.

$T_{река} = \frac{40v_k}{v_k^2 - v_t^2}$

$T_{озеро} = \frac{40}{v_k}$

Чтобы сравнить эти два выражения, приведем вторую дробь к числителю $40v_k$, умножив числитель и знаменатель на $v_k$:

$T_{озеро} = \frac{40 \cdot v_k}{v_k \cdot v_k} = \frac{40v_k}{v_k^2}$

Теперь мы сравниваем две дроби с одинаковыми положительными числителями: $\frac{40v_k}{v_k^2 - v_t^2}$ и $\frac{40v_k}{v_k^2}$.

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели:

$v_k^2 - v_t^2$ и $v_k^2$

Поскольку скорость течения $v_t > 0$, то $v_t^2 > 0$. Следовательно, знаменатель первой дроби меньше:

$v_k^2 - v_t^2 < v_k^2$

Это означает, что сама дробь будет больше:

$\frac{40v_k}{v_k^2 - v_t^2} > \frac{40v_k}{v_k^2}$

Таким образом, $T_{река} > T_{озеро}$.

Интуитивно это можно объяснить тем, что выигрыш во времени при движении по течению всегда меньше, чем проигрыш во времени при движении против течения на такое же расстояние.

Ответ: Катер затратит больше времени, если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения.