Номер 914, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Доказательство неравенств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 914, страница 206.

914. Велосипедист рассчитал, с какой скоростью он должен ехать из посёлка в город и обратно, чтобы, пробыв в городе полчаса, вернуться в посёлок к намеченному сроку. Однако на пути из посёлка в город он ехал со скоростью, на 2 км/ч меньшей намеченной, а спустя полчаса возвращался из города в посёлок со скоростью, на 2 км/ч большей намеченной. Успел ли велосипедист вернуться в посёлок к назначенному сроку?

Для решения задачи сравним плановое время поездки с фактическим. Введем переменные:

• $S$ — расстояние от посёлка до города (в км);
• $v$ — намеченная (плановая) скорость велосипедиста (в км/ч).

Время, которое велосипедист пробыл в городе, составляет 0,5 часа и не меняется, поэтому для ответа на вопрос достаточно сравнить только время, затраченное на дорогу туда и обратно.

Плановое время в пути:

Велосипедист планировал ехать в обе стороны с одинаковой скоростью $v$. Общее расстояние составляет $2S$ (туда и обратно). Плановое время в пути $T_{план}$ рассчитывается так:

$T_{план} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$

Фактическое время в пути:

На пути из посёлка в город велосипедист ехал со скоростью $v_1 = v - 2$ км/ч. Время в пути составило $t_1 = \frac{S}{v-2}$.

Обратно из города в посёлок он ехал со скоростью $v_2 = v + 2$ км/ч. Время в пути составило $t_2 = \frac{S}{v+2}$.

Фактическое общее время в пути $T_{факт}$ равно сумме $t_1$ и $t_2$:

$T_{факт} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v-2} + \frac{S}{v+2}$

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$T_{факт} = \frac{S(v+2) + S(v-2)}{(v-2)(v+2)} = \frac{Sv + 2S + Sv - 2S}{v^2 - 4} = \frac{2Sv}{v^2 - 4}$

Сравнение планового и фактического времени:

Теперь сравним плановое время в пути $T_{план} = \frac{2S}{v}$ и фактическое $T_{факт} = \frac{2Sv}{v^2 - 4}$.

Для этого найдем разность $T_{факт} - T_{план}$:

$T_{факт} - T_{план} = \frac{2Sv}{v^2 - 4} - \frac{2S}{v} = 2S \left( \frac{v}{v^2 - 4} - \frac{1}{v} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{v}{v^2 - 4} - \frac{1}{v} = \frac{v \cdot v - 1 \cdot (v^2 - 4)}{v(v^2 - 4)} = \frac{v^2 - v^2 + 4}{v(v^2 - 4)} = \frac{4}{v(v^2 - 4)}$

Тогда разность времени равна:

$T_{факт} - T_{план} = 2S \cdot \frac{4}{v(v^2 - 4)} = \frac{8S}{v(v^2 - 4)}$

По условию задачи, скорость должна быть положительной, то есть $v-2 > 0$, что означает $v > 2$ км/ч. При этом условии:

• Расстояние $S > 0$.
• Скорость $v > 2$, значит $v > 0$.
• $v^2 > 4$, значит $v^2 - 4 > 0$.

Следовательно, знаменатель $v(v^2 - 4)$ положителен, и вся дробь $\frac{8S}{v(v^2 - 4)}$ также положительна.

Раз $T_{факт} - T_{план} > 0$, то $T_{факт} > T_{план}$.

Фактическое время, затраченное на дорогу, оказалось больше запланированного. Так как время остановки в городе было одинаковым, общее время поездки также превысило намеченное.

Ответ: Нет, велосипедист не успел вернуться в посёлок к назначенному сроку.