Номер 910, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Доказательство неравенств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 910, страница 205.

910. Докажите, что

$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$,

если $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом равносильных преобразований.

По условию все переменные $a, b, c, d$ строго больше нуля. Это означает, что обе части неравенства $\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd}$ являются положительными числами. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, и знак неравенства при этом не изменится.

Возводим обе части в квадрат:$ (\sqrt{(a+c)(b+d)})^2 \ge (\sqrt{ab} + \sqrt{cd})^2 $

После возведения в квадрат получаем:$ (a+c)(b+d) \ge ab + 2\sqrt{ab \cdot cd} + cd $

Раскроем скобки в левой части неравенства:$ ab + ad + cb + cd \ge ab + 2\sqrt{abcd} + cd $

Теперь вычтем из обеих частей неравенства слагаемые $ab$ и $cd$, которые присутствуют и слева, и справа:$ ad + cb \ge 2\sqrt{abcd} $

Полученное неравенство является известным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел. Если взять два положительных числа $x = ad$ и $y = cb$ (они положительны, так как $a, b, c, d > 0$), то для них справедливо неравенство:$ x+y \ge 2\sqrt{xy} $

Подставляя наши значения, получаем:$ ad + cb \ge 2\sqrt{(ad)(cb)} $$ ad + cb \ge 2\sqrt{abcd} $

Это неравенство является истинным. Поскольку мы пришли к верному неравенству с помощью равносильных преобразований из исходного, то и исходное неравенство также является верным.

Ответ: Неравенство доказано.