Номер 911, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Доказательство неравенств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 911, страница 205.

911. Докажите, что при $a > 0, b > 0, c > 0$ верно неравенство $\frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a}$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся условием, что $a > 0$, $b > 0$ и $c > 0$.

Рассмотрим три очевидных неравенства, которые следуют из этих условий.

1. Поскольку $c > 0$, сумма $a+b+c$ строго больше, чем $a+b$. То есть, $a+b+c > a+b$. Так как обе части этого неравенства положительны, мы можем взять от них обратные величины, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $$ \frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} $$

2. Аналогично, поскольку $a > 0$, справедливо неравенство $a+b+c > b+c$. Взяв обратные величины от обеих положительных частей, получим: $$ \frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{b+c} $$

3. И так же, поскольку $b > 0$, справедливо неравенство $a+b+c > c+a$. Взяв обратные величины, получим: $$ \frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{c+a} $$

Теперь у нас есть три строгих неравенства. Мы можем сложить их левые и правые части: $$ \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} $$

Упростив левую часть полученного неравенства, мы приходим к тому, что требовалось доказать: $$ \frac{3}{a+b+c} < \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} $$

Ответ: Неравенство доказано.