Номер 913, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Доказательство неравенств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 913, страница 206.

913. Докажите, что при любом a, большем 1, верно неравенство

$\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}.$

Для доказательства неравенства $ \frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1} - \sqrt{a-1} $ при $ a > 1 $ выполним равносильные преобразования.

По условию $ a > 1 $, следовательно, все подкоренные выражения положительны: $ a > 0 $, $ a+1 > 0 $ и $ a-1 > 0 $. Это обеспечивает существование всех корней в области действительных чисел.

Левая часть неравенства, $ \frac{1}{\sqrt{a}} $, очевидно, положительна. Правая часть, $ \sqrt{a+1} - \sqrt{a-1} $, также положительна, так как функция квадратного корня является возрастающей, и из $ a+1 > a-1 $ следует $ \sqrt{a+1} > \sqrt{a-1} $.

Преобразуем правую часть неравенства, умножив и разделив ее на сопряженное выражение $ \sqrt{a+1} + \sqrt{a-1} $. Это позволит избавиться от иррациональности в числителе. $$ \sqrt{a+1} - \sqrt{a-1} = \frac{(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})(\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1})}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}} $$ Применяя формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2-y^2 $ в числителе, получаем: $$ \frac{(\sqrt{a+1})^2 - (\sqrt{a-1})^2}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}} = \frac{(a+1) - (a-1)}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}} = \frac{a+1-a+1}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}} = \frac{2}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}} $$

Теперь исходное неравенство можно переписать в эквивалентном виде: $$ \frac{1}{\sqrt{a}} < \frac{2}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}} $$ Поскольку обе части неравенства и все их компоненты положительны, мы можем умножить обе части на $ \sqrt{a}(\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}) > 0 $, что является равносильным преобразованием (также известным как "перемножение крест-накрест"): $$ \sqrt{a+1} + \sqrt{a-1} < 2\sqrt{a} $$

Обе части полученного неравенства также положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $$ (\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1})^2 < (2\sqrt{a})^2 $$ Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $: $$ (\sqrt{a+1})^2 + 2\sqrt{a+1}\sqrt{a-1} + (\sqrt{a-1})^2 < 4a $$ $$ (a+1) + 2\sqrt{(a+1)(a-1)} + (a-1) < 4a $$ Упростим выражение в левой части: $$ 2a + 2\sqrt{a^2 - 1} < 4a $$

Продолжим упрощение неравенства: $$ 2\sqrt{a^2 - 1} < 4a - 2a $$ $$ 2\sqrt{a^2 - 1} < 2a $$ Разделим обе части на 2: $$ \sqrt{a^2 - 1} < a $$

При $ a > 1 $ обе части этого неравенства, $ \sqrt{a^2-1} $ и $ a $, положительны. Снова возведем в квадрат: $$ (\sqrt{a^2 - 1})^2 < a^2 $$ $$ a^2 - 1 < a^2 $$ Вычитая $ a^2 $ из обеих частей, получаем очевидно верное неравенство: $$ -1 < 0 $$

Так как мы начали с исходного неравенства и с помощью равносильных преобразований пришли к верному числовому неравенству, то исходное неравенство также верно для всех $ a > 1 $.

Ответ: Неравенство доказано.