Номер 915, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 915, страница 206.

915. Докажите неравенство:

a) $(6y - 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1);$

б) $(3y - 1)(2y + 1) > (2y - 1)(2 + 3y).$

а) Чтобы доказать неравенство $(6y - 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1)$, преобразуем обе его части, раскрыв скобки.

Раскроем скобки в левой части:

$(6y - 1)(y + 2) = 6y \cdot y + 6y \cdot 2 - 1 \cdot y - 1 \cdot 2 = 6y^2 + 12y - y - 2 = 6y^2 + 11y - 2$.

Раскроем скобки в правой части:

$(3y + 4)(2y + 1) = 3y \cdot 2y + 3y \cdot 1 + 4 \cdot 2y + 4 \cdot 1 = 6y^2 + 3y + 8y + 4 = 6y^2 + 11y + 4$.

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

$6y^2 + 11y - 2 < 6y^2 + 11y + 4$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$6y^2 + 11y - 2 - 6y^2 - 11y - 4 < 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(6y^2 - 6y^2) + (11y - 11y) + (-2 - 4) < 0$.

$0 \cdot y^2 + 0 \cdot y - 6 < 0$.

$-6 < 0$.

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $y$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $(3y - 1)(2y + 1) > (2y - 1)(2 + 3y)$, также раскроем скобки в обеих его частях.

Раскроем скобки в левой части:

$(3y - 1)(2y + 1) = 3y \cdot 2y + 3y \cdot 1 - 1 \cdot 2y - 1 \cdot 1 = 6y^2 + 3y - 2y - 1 = 6y^2 + y - 1$.

Раскроем скобки в правой части:

$(2y - 1)(2 + 3y) = 2y \cdot 2 + 2y \cdot 3y - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3y = 4y + 6y^2 - 2 - 3y = 6y^2 + y - 2$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$6y^2 + y - 1 > 6y^2 + y - 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$6y^2 + y - 1 - (6y^2 + y - 2) > 0$.

$6y^2 + y - 1 - 6y^2 - y + 2 > 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(6y^2 - 6y^2) + (y - y) + (-1 + 2) > 0$.

$1 > 0$.

Мы получили верное числовое неравенство, истинность которого не зависит от значения $y$. Таким образом, исходное неравенство справедливо для любого значения переменной.

Ответ: Неравенство доказано.