Номер 909, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Доказательство неравенств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 909, страница 205.

909. Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов: $(\frac{a+b}{2})^3 \le \frac{a^3+b^3}{2}$.

Пусть даны два положительных числа $a$ и $b$. Это означает, что $a > 0$ и $b > 0$.Требуется доказать, что куб их полусуммы не превосходит полусуммы их кубов. Запишем это утверждение в виде математического неравенства:

$$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^3 \le \frac{a^3+b^3}{2} $$

Для доказательства выполним равносильные преобразования этого неравенства.Сначала возведем в куб левую часть:

$$ \frac{(a+b)^3}{8} \le \frac{a^3+b^3}{2} $$

Используем формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ для раскрытия скобок в числителе:

$$ \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8} \le \frac{a^3+b^3}{2} $$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$$ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \le 4(a^3+b^3) $$

Раскроем скобки в правой части:

$$ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \le 4a^3 + 4b^3 $$

Перенесем все члены неравенства в правую часть:

$$ 0 \le 4a^3 + 4b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 0 \le 3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3 $$

Разделим обе части на 3. Знак неравенства не изменится:

$$ 0 \le a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 $$

Теперь сгруппируем слагаемые в правой части и разложим выражение на множители:

$$ 0 \le (a^3 - a^2b) - (ab^2 - b^3) $$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$$ 0 \le a^2(a - b) - b^2(a - b) $$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$$ 0 \le (a - b)(a^2 - b^2) $$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ 0 \le (a - b)(a - b)(a + b) $$

$$ 0 \le (a - b)^2(a + b) $$

Мы пришли к неравенству, справедливость которого очевидна для любых положительных $a$ и $b$:

1. Выражение $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда больше или равно нулю: $(a - b)^2 \ge 0$.
2. По условию задачи числа $a$ и $b$ положительны ($a > 0$, $b > 0$), значит, их сумма также положительна: $(a + b) > 0$.

Произведение неотрицательного числа $(a - b)^2$ и положительного числа $(a + b)$ всегда будет неотрицательным. Равенство в данном неравенстве достигается только в случае, когда $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a=b$.

Так как все преобразования были равносильными, а конечное неравенство истинно, то и исходное неравенство также истинно для любых положительных чисел $a$ и $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.