Страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

927. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при $a > 0, b > 0, c > 0$ верно неравенство:

a) $ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$;

б) $\left(1 + \frac{a^2}{bc}\right)\left(1 + \frac{b^2}{ac}\right)\left(1 + \frac{c^2}{ab}\right) \ge 8.$

Для доказательства данных неравенств воспользуемся соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел $x$ и $y$, которое гласит:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, или в эквивалентной форме $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

По условию задачи, все переменные $a$, $b$ и $c$ являются положительными числами ($a > 0$, $b > 0$, $c > 0$).

а) Требуется доказать неравенство $ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$.

Рассмотрим левую часть неравенства как сумму двух положительных слагаемых: $x = ac$ и $y = \frac{b}{c}$.

Применим к этим слагаемым неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

$x + y \ge 2\sqrt{xy}$

Подставив наши выражения для $x$ и $y$, получим:

$ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ac \cdot \frac{b}{c}}$

Упростим выражение под знаком корня в правой части неравенства:

$ac \cdot \frac{b}{c} = a \cdot c \cdot \frac{b}{c} = ab$

Таким образом, мы приходим к исходному неравенству:

$ac + \frac{b}{c} \ge 2\sqrt{ab}$

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать неравенство $(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) \ge 8$.

Для доказательства этого неравенства применим соотношение о среднем арифметическом и среднем геометрическом к каждому из множителей в левой части.

1. Для первого множителя $(1 + \frac{a^2}{bc})$ возьмем $x=1$ и $y=\frac{a^2}{bc}$. Оба числа положительны. Применяем неравенство:

$1 + \frac{a^2}{bc} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{a^2}{bc}} = 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}} = \frac{2a}{\sqrt{bc}}$ (поскольку $a>0$, то $\sqrt{a^2}=a$).

2. Для второго множителя $(1 + \frac{b^2}{ac})$ возьмем $x=1$ и $y=\frac{b^2}{ac}$. Применяем неравенство:

$1 + \frac{b^2}{ac} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{b^2}{ac}} = 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}} = \frac{2b}{\sqrt{ac}}$ (поскольку $b>0$, то $\sqrt{b^2}=b$).

3. Для третьего множителя $(1 + \frac{c^2}{ab})$ возьмем $x=1$ и $y=\frac{c^2}{ab}$. Применяем неравенство:

$1 + \frac{c^2}{ab} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{c^2}{ab}} = 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}} = \frac{2c}{\sqrt{ab}}$ (поскольку $c>0$, то $\sqrt{c^2}=c$).

Мы получили три верных неравенства. Поскольку все части этих неравенств положительны, мы можем их перемножить, сохранив знак неравенства:

$(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) \ge (\frac{2a}{\sqrt{bc}}) \cdot (\frac{2b}{\sqrt{ac}}) \cdot (\frac{2c}{\sqrt{ab}})$

Теперь упростим выражение в правой части:

$(\frac{2a}{\sqrt{bc}}) \cdot (\frac{2b}{\sqrt{ac}}) \cdot (\frac{2c}{\sqrt{ab}}) = 8 \cdot \frac{a \cdot b \cdot c}{\sqrt{bc} \cdot \sqrt{ac} \cdot \sqrt{ab}} = 8 \cdot \frac{abc}{\sqrt{b^2c^2a^2}} = 8 \cdot \frac{abc}{\sqrt{(abc)^2}}$

Так как $a, b, c > 0$, то $abc > 0$, и $\sqrt{(abc)^2} = abc$.

Следовательно, правая часть равна $8 \cdot \frac{abc}{abc} = 8$.

Таким образом, мы доказали, что:

$(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) \ge 8$

Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

928. Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если $a$ — наибольшее число в пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, где $a, b, c, d$ — положительные числа, то верно неравенство $a + d > b + c$.

По условию задачи даны четыре положительных числа $a, b, c, d$, которые образуют пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Также известно, что $a$ — наибольшее из этих чисел, то есть $a > b$, $a > c$ и $a > d$. Требуется доказать неравенство $a + d > b + c$.

Для доказательства преобразуем исходное неравенство $a + d > b + c$ в эквивалентное. Для этого воспользуемся данной пропорцией. Из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ выразим $c$. Так как $b, d$ положительны, можно записать $c = \frac{ad}{b}$. Подставим это выражение в доказываемое неравенство:
$a + d > b + \frac{ad}{b}$

Поскольку $b$ — положительное число, умножим обе части неравенства на $b$. Знак неравенства при этом не изменится:
$b(a + d) > b(b + \frac{ad}{b})$
$ab + bd > b^2 + ad$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их:
$ab + bd - b^2 - ad > 0$
$(ab - ad) + (bd - b^2) > 0$
$a(b - d) - b(b - d) > 0$

Вынесем за скобки общий множитель $(b - d)$:
$(a - b)(b - d) > 0$

Мы преобразовали исходное неравенство в эквивалентное ему неравенство $(a - b)(b - d) > 0$. Докажем, что оно истинно, исходя из условий задачи. Для этого нужно определить знаки множителей $(a - b)$ и $(b - d)$.

1. Знак множителя $(a - b)$. По условию, $a$ — наибольшее число. Следовательно, $a > b$, а значит разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.

2. Знак множителя $(b - d)$. Чтобы определить знак этой разности, снова обратимся к пропорции. Из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ можно получить (так как $c > 0$) пропорцию $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. По условию, $a > c$. Разделив обе части этого неравенства на положительное число $c$, получим $\frac{a}{c} > 1$. Так как $\frac{b}{d} = \frac{a}{c}$, то и $\frac{b}{d} > 1$. Умножив обе части неравенства $\frac{b}{d} > 1$ на положительное число $d$, получим $b > d$. Следовательно, разность $b - d$ также является положительным числом: $b - d > 0$.

Таким образом, мы имеем произведение двух положительных чисел $(a - b)$ и $(b - d)$. Их произведение также положительно: $(a - b)(b - d) > 0$.

Поскольку неравенство $(a - b)(b - d) > 0$ истинно, а все наши преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a + d > b + c$ является истинным, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $a + d > b + c$ доказано.

929. Известно, что $12 \le y \le 16$. Оцените значение выражения:

а) $-0.5y$;

б) $42 - 2y$;

в) $\frac{1}{y} + 2$.

а)

Используем данное неравенство $12 \le y \le 16$.

Чтобы оценить значение выражения $-0,5y$, необходимо умножить все части исходного неравенства на $-0,5$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$12 \cdot (-0,5) \ge -0,5y \ge 16 \cdot (-0,5)$

Выполняем умножение:

$-6 \ge -0,5y \ge -8$

Для удобства записи расположим числа в порядке возрастания:

$-8 \le -0,5y \le -6$

Ответ: $-8 \le -0,5y \le -6$.

б)

Используем данное неравенство $12 \le y \le 16$.

Для оценки выражения $42 - 2y$ сначала оценим $-2y$. Умножим все части исходного неравенства на $-2$. Так как множитель отрицательный, знаки неравенства меняются на противоположные.

$12 \cdot (-2) \ge -2y \ge 16 \cdot (-2)$

$-24 \ge -2y \ge -32$

Запишем в порядке возрастания:

$-32 \le -2y \le -24$

Теперь к каждой части полученного неравенства прибавим 42:

$42 - 32 \le 42 - 2y \le 42 - 24$

Выполняем вычисления:

$10 \le 42 - 2y \le 18$

Ответ: $10 \le 42 - 2y \le 18$.

в)

Используем данное неравенство $12 \le y \le 16$.

Для оценки выражения $\frac{1}{y} + 2$ сначала оценим $\frac{1}{y}$. Так как $y$ находится в интервале положительных чисел, при нахождении обратной величины знаки неравенства меняются на противоположные.

$\frac{1}{12} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{16}$

Запишем в порядке возрастания:

$\frac{1}{16} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{12}$

Теперь к каждой части неравенства прибавим 2:

$2 + \frac{1}{16} \le 2 + \frac{1}{y} \le 2 + \frac{1}{12}$

Представим 2 в виде дроби с нужным знаменателем и выполним сложение:

$\frac{32}{16} + \frac{1}{16} \le 2 + \frac{1}{y} \le \frac{24}{12} + \frac{1}{12}$

$\frac{33}{16} \le \frac{1}{y} + 2 \le \frac{25}{12}$

Ответ: $\frac{33}{16} \le \frac{1}{y} + 2 \le \frac{25}{12}$.

930. Оцените значение выражения:

а) $a + 2b$, если $0 < a < 1$ и $-3 < b < -2$;

б) $\frac{1}{2}a - b$, если $7 < a < 10$ и $14 < b < 15$.

а)

По условию нам даны два неравенства: $0 < a < 1$ и $-3 < b < -2$.

Чтобы оценить значение выражения $a + 2b$, нам необходимо сначала оценить значение $2b$. Для этого умножим все части неравенства $-3 < b < -2$ на 2. Так как 2 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot (-3) < 2 \cdot b < 2 \cdot (-2)$

$-6 < 2b < -4$

Теперь у нас есть два неравенства одинакового знака, которые мы можем почленно сложить:

$\begin{array}{c} + \\ \phantom{x} \end{array} \begin{array}{rcccl} 0 & < & a & < & 1 \\ -6 & < & 2b & < & -4 \\ \hline 0+(-6) & < & a+2b & < & 1+(-4) \end{array}$

Выполним сложение:

$-6 < a + 2b < -3$

Таким образом, значение выражения $a + 2b$ находится в интервале от -6 до -3.

Ответ: $-6 < a + 2b < -3$.

б)

По условию нам даны неравенства: $7 < a < 10$ и $14 < b < 15$.

Нам нужно оценить значение выражения $\frac{1}{2}a - b$. Для этого представим его в виде суммы $\frac{1}{2}a + (-b)$ и оценим каждое слагаемое по отдельности.

1. Оценим $\frac{1}{2}a$. Умножим все части неравенства $7 < a < 10$ на положительное число $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot 7 < \frac{1}{2} \cdot a < \frac{1}{2} \cdot 10$

$3.5 < \frac{1}{2}a < 5$

2. Оценим $-b$. Для этого умножим все части неравенства $14 < b < 15$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 14 > -1 \cdot b > -1 \cdot 15$

$-14 > -b > -15$

Для удобства сложения запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-15 < -b < -14$

3. Теперь сложим почленно полученные неравенства для $\frac{1}{2}a$ и $-b$:

$\begin{array}{c} + \\ \phantom{x} \end{array} \begin{array}{rcccl} 3.5 & < & \frac{1}{2}a & < & 5 \\ -15 & < & -b & < & -14 \\ \hline 3.5+(-15) & < & \frac{1}{2}a - b & < & 5+(-14) \end{array}$

Выполним вычисления:

$-11.5 < \frac{1}{2}a - b < -9$

Таким образом, значение выражения $\frac{1}{2}a - b$ находится в интервале от -11.5 до -9.

Ответ: $-11.5 < \frac{1}{2}a - b < -9$.

931. Оцените длину средней линии треугольника ABC, которая параллельна стороне AB, если $10.4 < AB < 10.5$.

Пусть $m$ — это искомая длина средней линии треугольника $ABC$, которая параллельна стороне $AB$.

Согласно свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины той стороны, которой она параллельна. Для нашего случая это можно записать в виде формулы:

$m = \frac{AB}{2}$

Из условия задачи нам известно неравенство, описывающее возможные значения длины стороны $AB$:

$10,4 < AB < 10,5$

Чтобы найти оценку для длины средней линии $m$, необходимо разделить все части данного двойного неравенства на 2. Это свойство числовых неравенств: если $a < x < b$ и $c > 0$, то $\frac{a}{c} < \frac{x}{c} < \frac{b}{c}$.

Применим это к нашему неравенству:

$\frac{10,4}{2} < \frac{AB}{2} < \frac{10,5}{2}$

Теперь выполним вычисления:

$\frac{10,4}{2} = 5,2$

$\frac{10,5}{2} = 5,25$

Подставив полученные значения и заменив $\frac{AB}{2}$ на $m$, мы получим итоговое неравенство для оценки длины средней линии:

$5,2 < m < 5,25$

Ответ: $5,2 < m < 5,25$, где $m$ — длина средней линии.

932. Оцените длину средней линии трапеции с основаниями $a$ см и $c$ см, если $3,4 \le a \le 3,5$ и $6,2 \le c \le 6,3$.

Пусть $m$ — это длина средней линии трапеции, а $a$ и $c$ — длины её оснований. Длина средней линии трапеции вычисляется по формуле:
$m = \frac{a + c}{2}$

По условию задачи даны диапазоны значений для длин оснований:
$3,4 \le a \le 3,5$
$6,2 \le c \le 6,3$

Чтобы оценить длину средней линии $m$, необходимо сначала найти границы для суммы оснований $a+c$. Для этого сложим почленно данные неравенства, так как они имеют одинаковый знак:
$3,4 + 6,2 \le a + c \le 3,5 + 6,3$

Выполнив сложение, получаем:
$9,6 \le a + c \le 9,8$

Теперь, зная диапазон для суммы $a+c$, мы можем найти диапазон для средней линии $m$, разделив все части полученного двойного неравенства на 2:
$\frac{9,6}{2} \le \frac{a + c}{2} \le \frac{9,8}{2}$

Выполнив деление, получаем окончательную оценку для $m$:
$4,8 \le m \le 4,9$

Следовательно, длина средней линии трапеции не меньше 4,8 см и не больше 4,9 см.

Ответ: $4,8 \le m \le 4,9$.

933. Принадлежит ли промежутку $[8; 41)$ число 40,9? Можно ли указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку?
Существует ли в промежутке $[8; 41)$ наибольшее число? наименьшее число?

Принадлежит ли промежутку [8; 41] число 40,9?

Промежуток $[8; 41]$ включает в себя все действительные числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $8 \le x \le 41$. Чтобы определить, принадлежит ли число 40,9 этому промежутку, необходимо проверить, удовлетворяет ли оно этому условию.

Сравниваем число 40,9 с границами промежутка:

1. $8 \le 40,9$ – это неравенство верно.

2. $40,9 \le 41$ – это неравенство также верно.

Поскольку оба условия выполняются, число 40,9 находится между 8 и 41, а значит, принадлежит данному промежутку.

Ответ: да, принадлежит.

Можно ли указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку?

Да, можно. Нам нужно найти такое число $y$, которое одновременно больше 40,9 и принадлежит промежутку $[8; 41]$. Это означает, что для числа $y$ должны выполняться неравенства $y > 40,9$ и $8 \le y \le 41$.

Объединив эти условия, получаем, что искомое число $y$ должно удовлетворять неравенству $40,9 < y \le 41$.

Любое число из этого интервала подойдет. Например:

- Число 41. Оно больше 40,9 и является правой границей промежутка, которая в него включена.

- Число 40,95. Оно больше 40,9 и меньше 41, то есть $40,9 < 40,95 \le 41$.

Ответ: да, можно. Например, число 41 или 40,95.

Существует ли в промежутке [8; 41] наибольшее число? наименьшее число?

Да, в данном промежутке существуют и наибольшее, и наименьшее числа.

Промежуток $[8; 41]$ является отрезком, так как квадратные скобки указывают на то, что его концы (граничные точки 8 и 41) включены в сам промежуток.

Для любого числа $x$ из этого промежутка справедливо двойное неравенство $8 \le x \le 41$.

Наибольшее число: Из неравенства $x \le 41$ следует, что ни одно число в промежутке не может быть больше 41. Поскольку само число 41 принадлежит промежутку, оно и является в нем наибольшим.

Наименьшее число: Аналогично, из неравенства $8 \le x$ следует, что ни одно число в промежутке не может быть меньше 8. Поскольку само число 8 принадлежит промежутку, оно является в нем наименьшим.

Ответ: да, наибольшее число существует и равно 41, а наименьшее число существует и равно 8.

934. Принадлежит ли промежутку $(7; 17]$ число 7,01? Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в промежутке $(7; 17]$ наименьшее число? наибольшее число?

Принадлежит ли промежутку (7; 17] число 7,01? Промежуток $(7; 17]$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых выполняется двойное неравенство $7 < x \le 17$. Левая граница (число 7) не включается в промежуток, а правая граница (число 17) включается.
Чтобы проверить, принадлежит ли число 7,01 этому промежутку, необходимо подставить его в неравенство:
$7 < 7,01 \le 17$.
Это неравенство состоит из двух частей:
1. $7 < 7,01$ — это верное утверждение.
2. $7,01 \le 17$ — это также верное утверждение.
Поскольку оба условия выполняются, число 7,01 принадлежит данному промежутку.
Ответ: да, принадлежит.

Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку? Да, можно. Нам необходимо найти такое число $x$, которое одновременно удовлетворяет трем условиям: $x < 7,01$, $x > 7$ и $x \le 17$. Фактически, нам нужно найти любое число в интервале $(7; 7,01)$.
Между любыми двумя различными действительными числами всегда существует бесконечное множество других чисел. В качестве примера можно взять среднее арифметическое чисел 7 и 7,01:
$x = \frac{7 + 7,01}{2} = \frac{14,01}{2} = 7,005$.
Число 7,005 удовлетворяет всем условиям: оно меньше 7,01 и находится в промежутке $(7; 17]$, так как $7 < 7,005 \le 17$.
Другие примеры: 7,001; 7,002; 7,0099.
Ответ: да, можно, например, число 7,005.

Существует ли в промежутке (7; 17] наименьшее число? В промежутке $(7; 17]$ наименьшего числа не существует.
Левая граница промежутка, число 7, не включена в него (на это указывает круглая скобка). Это означает, что все числа $x$ в промежутке должны быть строго больше 7 ($x > 7$).
Если мы предположим, что существует наименьшее число в этом промежутке, назовем его $m$, то для него должно выполняться условие $7 < m$. Но тогда всегда можно найти другое число, например, $x = \frac{7+m}{2}$, которое будет удовлетворять неравенству $7 < x < m$. Это число $x$ также будет принадлежать промежутку $(7; 17]$, но оно будет меньше $m$. Это противоречит нашему предположению, что $m$ — наименьшее число. Так можно продолжать до бесконечности, находя все меньшие и меньшие числа, которые все еще больше 7. Таким образом, наименьшего элемента в данном множестве нет.
Ответ: нет, не существует.

наибольшее число? Наибольшее число в промежутке $(7; 17]$ существует.
Правая граница промежутка, число 17, включена в него (на это указывает квадратная скобка). Это означает, что все числа $x$ в промежутке должны быть меньше или равны 17 ($x \le 17$).
Само число 17 удовлетворяет условиям промежутка, так как $7 < 17$ и $17 \le 17$. Поскольку ни одно число в этом промежутке не может быть больше 17, а само число 17 в него входит, то 17 и является наибольшим числом в данном промежутке.
Ответ: да, существует, это число 17.

935. Укажите, если это возможно, наименьшее и наибольшее числа, принадлежащие промежутку:

а) $[12; 37]$

б) $[8; 13)$

в) $(11; 14)$

г) $(3; 19]$

а) [12; 37]

Промежуток $[12; 37]$ — это числовой отрезок. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, числа 12 и 37, принадлежат этому промежутку. То есть, для любого числа $x$ из этого промежутка выполняется двойное неравенство $12 \le x \le 37$.
Поскольку левая граница (число 12) включена в промежуток, она является наименьшим числом.
Поскольку правая граница (число 37) включена в промежуток, она является наибольшим числом.
Ответ: наименьшее число — 12, наибольшее число — 37.

б) [8; 13)

Промежуток $[8; 13)$ — это полуинтервал. Квадратная скобка у левой границы означает, что число 8 принадлежит промежутку. Круглая скобка у правой границы означает, что число 13 не принадлежит промежутку. Для любого числа $x$ из этого промежутка выполняется двойное неравенство $8 \le x < 13$.
Наименьшим числом является левая граница 8, так как она включена в промежуток.
Наибольшего числа в этом промежутке не существует. Число 13 является верхней границей, но не принадлежит промежутку. Можно выбрать число, сколь угодно близкое к 13 (например, 12,9, 12,99, 12,999), но всегда можно найти число еще больше, которое также будет входить в этот промежуток.
Ответ: наименьшее число — 8, наибольшего числа не существует.

в) (11; 14)

Промежуток $(11; 14)$ — это интервал. Круглые скобки означают, что концы интервала, числа 11 и 14, не принадлежат этому промежутку. Для любого числа $x$ из этого промежутка выполняется двойное неравенство $11 < x < 14$.
Наименьшего числа в этом промежутке не существует. Число 11 является нижней границей, но не принадлежит промежутку. Можно выбрать число, сколь угодно близкое к 11 (например, 11,001), но всегда можно найти число еще меньше (ближе к 11), которое также будет входить в этот промежуток.
Наибольшего числа в этом промежутке также не существует по аналогичной причине. Число 14 является верхней границей, но не принадлежит промежутку.
Ответ: наименьшего и наибольшего чисел не существует.

г) (3; 19]

Промежуток $(3; 19]$ — это полуинтервал. Круглая скобка у левой границы означает, что число 3 не принадлежит промежутку. Квадратная скобка у правой границы означает, что число 19 принадлежит промежутку. Для любого числа $x$ из этого промежутка выполняется двойное неравенство $3 < x \le 19$.
Наименьшего числа в этом промежутке не существует. Число 3 является нижней границей, но не принадлежит промежутку.
Наибольшим числом является правая граница 19, так как она включена в промежуток.
Ответ: наименьшего числа не существует, наибольшее число — 19.

936. Верно ли, что:

а) $(-5; 5) \cap (-3; 2) = (-3; 2);$

б) $(4; 11) \cup (0; 6) = (4; 6);$

в) $(-\infty; 4) \cup (1; +\infty) = (-\infty; +\infty);$

г) $(-\infty; 2) \cap (-2; +\infty) = (-2; 2)?$

а) Проверим утверждение $(-5; 5) \cap (-3; 2) = (-3; 2)$.

Знак $\cap$ обозначает пересечение множеств. Пересечение двух числовых промежутков — это множество, содержащее все числа, которые принадлежат каждому из этих промежутков. В данном случае мы ищем числа $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $-5 < x < 5$ и $-3 < x < 2$.

Представим эти промежутки на числовой оси. Промежуток $(-3; 2)$ полностью находится внутри промежутка $(-5; 5)$, так как $-5 < -3$ и $2 < 5$. Следовательно, их общая часть (пересечение) совпадает с промежутком $(-3; 2)$.

Таким образом, равенство $(-5; 5) \cap (-3; 2) = (-3; 2)$ является верным.

Ответ: верно.

б) Проверим утверждение $(4; 11) \cup (0; 6) = (4; 6)$.

Знак $\cup$ обозначает объединение множеств. Объединение двух числовых промежутков — это множество, содержащее все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков.

Первый промежуток $(4; 11)$ содержит числа $x$, для которых $4 < x < 11$. Второй промежуток $(0; 6)$ содержит числа $x$, для которых $0 < x < 6$.

Объединяя эти два множества, мы получаем все числа, которые либо больше 0 и меньше 6, либо больше 4 и меньше 11. Эти промежутки пересекаются. Самое меньшее число в объединении стремится к 0, а самое большее — к 11. Таким образом, объединение этих промежутков есть интервал $(0; 11)$.

Равенство $(4; 11) \cup (0; 6) = (4; 6)$ неверно. Отметим, что промежуток $(4; 6)$ является пересечением данных промежутков: $(4; 11) \cap (0; 6) = (4; 6)$.

Ответ: неверно.

в) Проверим утверждение $(-\infty; 4) \cup (1; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Знак $\cup$ обозначает объединение множеств. Мы объединяем множество всех чисел, меньших 4 (промежуток $(-\infty; 4)$), и множество всех чисел, больших 1 (промежуток $(1; +\infty)$).

Первый промежуток покрывает всю числовую прямую левее точки 4. Второй промежуток покрывает всю числовую прямую правее точки 1. Так как эти промежутки перекрываются (на интервале $(1; 4)$), их объединение покрывает всю числовую прямую без пропусков. Любое действительное число либо меньше 4, либо больше 1, поэтому любое действительное число попадает в объединение.

Множество всех действительных чисел обозначается как $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

г) Проверим утверждение $(-\infty; 2) \cap (-2; +\infty) = (-2; 2)$.

Знак $\cap$ обозначает пересечение множеств. Мы ищем числа $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $x < 2$ (принадлежат промежутку $(-\infty; 2)$) и $x > -2$ (принадлежат промежутку $(-2; +\infty)$).

Записав эти два неравенства вместе, мы получим двойное неравенство: $-2 < x < 2$.

Это двойное неравенство как раз и определяет числовой промежуток (интервал) $(-2; 2)$.

Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: верно.