Страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

945. Решите неравенство:

а) $2(4y - 1) - 5y < 3y + 5$

б) $6(1 - y) - 8(3y + 1) + 30y > -5$

а) $2(4y - 1) - 5y < 3y + 5$

Для решения неравенства сначала раскроем скобки в левой части:

$2 \cdot 4y - 2 \cdot 1 - 5y < 3y + 5$

$8y - 2 - 5y < 3y + 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(8y - 5y) - 2 < 3y + 5$

$3y - 2 < 3y + 5$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$3y - 3y < 5 + 2$

Выполним вычисления в обеих частях:

$0 \cdot y < 7$

$0 < 7$

Полученное неравенство $0 < 7$ является верным и не зависит от значения переменной $y$. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любом действительном значении $y$.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

б) $6(1 - y) - 8(3y + 1) + 30y > -5$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$6 \cdot 1 - 6 \cdot y - (8 \cdot 3y + 8 \cdot 1) + 30y > -5$

$6 - 6y - 24y - 8 + 30y > -5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $y$ и постоянные слагаемые.

$(-6y - 24y + 30y) + (6 - 8) > -5$

Выполним вычисления в каждой группе:

$0 \cdot y - 2 > -5$

$-2 > -5$

В результате мы получили верное числовое неравенство $-2 > -5$, которое не зависит от переменной $y$. Следовательно, исходное неравенство выполняется при любом действительном значении $y$.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

946. Найдите, при каких значениях a уравнение имеет положительный корень:

а) $3x = 9a;$

б) $x + 2 = a;$

в) $x - 8 = 3a + 1;$

г) $2x - 3 = a + 4.$

В уравнении $3x = 9a$ выразим переменную $x$. Для этого разделим обе части уравнения на 3: $x = \frac{9a}{3}$, что равносильно $x = 3a$. По условию задачи корень уравнения должен быть положительным, то есть $x > 0$. Подставим выражение для $x$: $3a > 0$. Разделив обе части неравенства на 3, получим: $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

В уравнении $x + 2 = a$ выразим переменную $x$. Для этого перенесем 2 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $x = a - 2$. По условию задачи корень уравнения должен быть положительным, то есть $x > 0$. Подставим выражение для $x$: $a - 2 > 0$. Перенеся -2 в правую часть неравенства, получим: $a > 2$.

Ответ: $a > 2$.

В уравнении $x - 8 = 3a + 1$ выразим переменную $x$. Для этого перенесем -8 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $x = 3a + 1 + 8$, что равносильно $x = 3a + 9$. По условию задачи корень уравнения должен быть положительным, то есть $x > 0$. Подставим выражение для $x$: $3a + 9 > 0$. Перенесем 9 в правую часть неравенства: $3a > -9$. Разделив обе части неравенства на 3, получим: $a > -3$.

Ответ: $a > -3$.

В уравнении $2x - 3 = a + 4$ выразим переменную $x$. Сначала перенесем -3 в правую часть: $2x = a + 4 + 3$, что равносильно $2x = a + 7$. Теперь разделим обе части уравнения на 2: $x = \frac{a + 7}{2}$. По условию задачи корень уравнения должен быть положительным, то есть $x > 0$. Подставим выражение для $x$: $\frac{a + 7}{2} > 0$. Умножим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не изменится, так как 2 > 0): $a + 7 > 0$. Перенеся 7 в правую часть неравенства, получим: $a > -7$.

Ответ: $a > -7$.

947. Найдите, при каких значениях b уравнение имеет отрицательный корень:

а) $10x = 3b$;

б) $x - 4 = b$;

в) $3x - 1 = b + 2$;

г) $3x - 3 = 5b - 2$.

а)

Дано линейное уравнение $10x = 3b$.

Для того чтобы найти корень уравнения, выразим переменную $x$:

$x = \frac{3b}{10}$

По условию задачи, корень уравнения должен быть отрицательным, то есть должно выполняться неравенство $x < 0$.

Подставим выражение для $x$ в это неравенство:

$\frac{3b}{10} < 0$

Знаменатель дроби $10$ является положительным числом. Следовательно, чтобы вся дробь была отрицательной, ее числитель должен быть отрицательным:

$3b < 0$

Разделим обе части неравенства на положительное число $3$, при этом знак неравенства не изменится:

$b < 0$

Ответ: при $b < 0$.

б)

Дано уравнение $x - 4 = b$.

Выразим переменную $x$, перенеся $-4$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = b + 4$

По условию корень $x$ должен быть отрицательным, то есть $x < 0$.

Составим и решим неравенство:

$b + 4 < 0$

Перенесем $4$ в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$b < -4$

Ответ: при $b < -4$.

в)

Дано уравнение $3x - 1 = b + 2$.

Сначала выразим переменную $x$. Для этого перенесем $-1$ в правую часть уравнения:

$3x = b + 2 + 1$

$3x = b + 3$

Теперь разделим обе части уравнения на $3$:

$x = \frac{b + 3}{3}$

По условию корень уравнения $x$ должен быть отрицательным ($x < 0$).

Составим и решим неравенство:

$\frac{b + 3}{3} < 0$

Так как знаменатель дроби $3$ положителен, числитель дроби должен быть отрицательным:

$b + 3 < 0$

Перенесем $3$ в правую часть неравенства:

$b < -3$

Ответ: при $b < -3$.

г)

Дано уравнение $3x - 3 = 5b - 2$.

Выразим переменную $x$. Сначала перенесем $-3$ в правую часть уравнения:

$3x = 5b - 2 + 3$

$3x = 5b + 1$

Разделим обе части уравнения на $3$:

$x = \frac{5b + 1}{3}$

По условию корень уравнения $x$ должен быть отрицательным ($x < 0$).

Составим и решим неравенство:

$\frac{5b + 1}{3} < 0$

Так как знаменатель дроби $3$ положителен, ее числитель должен быть отрицательным:

$5b + 1 < 0$

Перенесем $1$ в правую часть:

$5b < -1$

Разделим обе части неравенства на $5$:

$b < -\frac{1}{5}$

Ответ: при $b < -1/5$.

948. При каких значениях m верно равенство:

a) $|2m - 16| = 2m - 16;$

б) $\frac{|12 - 6m|}{12 - 6m} = 1;$

в) $|m + 6| = -m - 6;$

г) $\frac{|10m - 35|}{10m - 35} = -1?$

а) Равенство вида $|A| = A$ верно тогда и только тогда, когда подмодульное выражение $A$ неотрицательно. В данном случае, $A = 2m - 16$.
Следовательно, для выполнения равенства $|2m - 16| = 2m - 16$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:
$2m - 16 \ge 0$
Перенесем 16 в правую часть:
$2m \ge 16$
Разделим обе части на 2:
$m \ge 8$
Равенство верно при всех значениях $m$, больших или равных 8.
Ответ: $m \in [8; +\infty)$.

б) Равенство вида $\frac{|A|}{A} = 1$ верно тогда и только тогда, когда выражение $A$ строго положительно, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. В данном случае, $A = 12 - 6m$.
Следовательно, для выполнения равенства $\frac{|12 - 6m|}{12 - 6m} = 1$ необходимо, чтобы выполнялось строгое неравенство:
$12 - 6m > 0$
Перенесем $6m$ в правую часть:
$12 > 6m$
Разделим обе части на 6:
$2 > m$, что эквивалентно $m < 2$.
Равенство верно при всех значениях $m$, строго меньших 2.
Ответ: $m \in (-\infty; 2)$.

в) Исходное равенство: $|m + 6| = -m - 6$.
Вынесем знак минус в правой части за скобки: $-m - 6 = -(m + 6)$.
Тогда равенство принимает вид: $|m + 6| = -(m + 6)$.
Равенство вида $|A| = -A$ верно тогда и только тогда, когда подмодульное выражение $A$ неположительно. В данном случае, $A = m + 6$.
Следовательно, должно выполняться неравенство:
$m + 6 \le 0$
Перенесем 6 в правую часть:
$m \le -6$
Равенство верно при всех значениях $m$, меньших или равных -6.
Ответ: $m \in (-\infty; -6]$.

г) Равенство вида $\frac{|A|}{A} = -1$ верно тогда и только тогда, когда выражение $A$ строго отрицательно, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. В данном случае, $A = 10m - 35$.
Следовательно, для выполнения равенства $\frac{|10m - 35|}{10m - 35} = -1$ необходимо, чтобы выполнялось строгое неравенство:
$10m - 35 < 0$
Перенесем 35 в правую часть:
$10m < 35$
Разделим обе части на 10:
$m < \frac{35}{10}$
$m < 3.5$
Равенство верно при всех значениях $m$, строго меньших 3.5.
Ответ: $m \in (-\infty; 3.5)$.

949. Найдите промежутки, в которых функция $y = -6x + 12$ принимает положительные значения; отрицательные значения. Ответ проиллюстрируйте на графике.

положительные значения

Функция $y = -6x + 12$ принимает положительные значения, когда $y > 0$. Чтобы найти эти промежутки, решим неравенство:

$-6x + 12 > 0$

Перенесем 12 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-6x > -12$

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-12}{-6}$

$x < 2$

Таким образом, функция принимает положительные значения при $x$ меньшем 2.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2)$.

отрицательные значения

Функция $y = -6x + 12$ принимает отрицательные значения, когда $y < 0$. Решим соответствующее неравенство:

$-6x + 12 < 0$

Перенесем 12 в правую часть:

$-6x < -12$

Разделим обе части на -6 и сменим знак неравенства:

$x > \frac{-12}{-6}$

$x > 2$

Следовательно, функция принимает отрицательные значения при $x$ большем 2.

Ответ: $y < 0$ при $x \in (2; +\infty)$.

Иллюстрация на графике

Графиком функции $y = -6x + 12$ является прямая линия. Для ее построения найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = -6 \cdot 0 + 12 = 12$. Точка пересечения с осью Y — $(0; 12)$.
• При $y = 0$, $0 = -6x + 12$, откуда $6x = 12$ и $x = 2$. Точка пересечения с осью X — $(2; 0)$. Эта точка является нулем функции.

Построим график, проведя прямую через эти две точки.

На графике видно, что:

• Часть прямой, расположенная выше оси абсцисс (где значения $y$ положительны), соответствует значениям $x < 2$. Этот участок графика выделен зеленым цветом.
• Часть прямой, расположенная ниже оси абсцисс (где значения $y$ отрицательны), соответствует значениям $x > 2$. Этот участок выделен красным цветом.

950. Со склада вывозят болванки: железные массой по 500 кг и медные массой по 200 кг. На грузовик, который может везти не более 4 т, погрузили 12 болванок. Сколько среди них может быть железных болванок?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество железных болванок, а $y$ — количество медных болванок.

По условию задачи, масса одной железной болванки составляет 500 кг, а масса одной медной болванки — 200 кг. Всего на грузовик было погружено 12 болванок. Это условие можно записать в виде уравнения:

$x + y = 12$

Также известно, что грузоподъемность грузовика не превышает 4 тонны. Переведем это значение в килограммы:

$4 \text{ т} = 4000 \text{ кг}$

Общая масса всех погруженных болванок не должна превышать 4000 кг. Это условие можно записать в виде неравенства:

$500x + 200y \le 4000$

Мы получили систему, состоящую из уравнения и неравенства, где $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами:

$\begin{cases} x + y = 12 \\ 500x + 200y \le 4000 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 12 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в неравенство:

$500x + 200(12 - x) \le 4000$

Раскроем скобки и решим неравенство относительно $x$:

$500x + 2400 - 200x \le 4000$

$300x + 2400 \le 4000$

Перенесем 2400 в правую часть:

$300x \le 4000 - 2400$

$300x \le 1600$

Разделим обе части на 300:

$x \le \frac{1600}{300}$

$x \le \frac{16}{3}$

$x \le 5\frac{1}{3}$

Поскольку количество железных болванок ($x$) может быть только целым неотрицательным числом, то $x$ может принимать значения от 0 до 5 включительно.

Таким образом, на грузовике может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5 железных болванок.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4 или 5.

951. С турбазы в город, отстоящий на расстояние $24 \text{ км}$, вышел первый турист со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Спустя $2 \text{ ч}$ вслед за ним отправился второй турист. С какой скоростью должен идти второй турист, чтобы догнать первого до его прихода в город?

Для начала определим, сколько времени потребуется первому туристу, чтобы дойти до города. Расстояние $S$ равно 24 км, а скорость первого туриста $v_1$ составляет 4 км/ч. Время в пути для первого туриста ($t_1$) вычисляется по формуле:

$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{24 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 6$ часов.

Второй турист отправляется на 2 часа позже первого. Это означает, что у него есть меньше времени, чтобы добраться до города. Чтобы он догнал первого туриста не позже, чем тот прибудет в город, он должен пройти весь путь за время, не превышающее время первого туриста минус 2 часа. Максимальное время в пути для второго туриста ($t_2$) составляет:

$t_2 = t_1 - 2 \text{ часа} = 6 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 4$ часа.

Теперь рассмотрим граничный случай: второй турист догоняет первого в тот самый момент, когда они оба приходят в город. В этом случае второму туристу нужно пройти расстояние в 24 км за 4 часа. Найдем его скорость ($v_2$) для этого случая:

$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{24 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 6$ км/ч.

При скорости 6 км/ч второй турист догонит первого ровно у входа в город. Условие задачи "догнать первого до его прихода в город" означает, что встреча должна произойти строго до того, как первый турист достигнет конечной точки. Следовательно, скорость второго туриста должна быть строго больше, чем скорость, необходимая для одновременного прибытия.

Таким образом, скорость второго туриста $v_2$ должна быть больше 6 км/ч.

Ответ: Скорость второго туриста должна быть больше 6 км/ч ($v_2 > 6$ км/ч).

952. От деревни до фермы 20 км, а от фермы до станции 40 км (рис. 48). С фермы по направлению к станции выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно из деревни на станцию через ферму по той же дороге отправился мотоциклист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию?

20 км 40 км

Деревня Ферма Станция

Рис. 48

Для решения задачи мы можем найти граничное условие — скорость, при которой мотоциклист догонит велосипедиста ровно в момент прибытия на станцию. Любая скорость выше этой позволит мотоциклисту догнать велосипедиста раньше.

1. Сначала рассчитаем, сколько времени потребуется велосипедисту, чтобы доехать от фермы до станции. Расстояние составляет $40$ км, а скорость велосипедиста — $12$ км/ч.

Время в пути для велосипедиста: $t_{вел} = \frac{S}{v} = \frac{40 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{10}{3}$ часа.

2. Теперь определим, какой путь должен проделать мотоциклист за это же время, чтобы встретиться с велосипедистом на станции. Мотоциклист выезжает из деревни, поэтому ему нужно проехать общее расстояние до станции:

$S_{общ} = 20 \text{ км} + 40 \text{ км} = 60$ км.

3. Чтобы догнать велосипедиста ровно на станции, мотоциклист должен проехать $60$ км за то же время, что и велосипедист, то есть за $\frac{10}{3}$ часа. Найдем эту скорость мотоциклиста ($v_{мот}$):

$v_{мот} = \frac{S_{общ}}{t_{вел}} = \frac{60 \text{ км}}{10/3 \text{ ч}} = 60 \cdot \frac{3}{10} = 18$ км/ч.

4. При скорости $18$ км/ч мотоциклист догонит велосипедиста ровно на станции. По условию задачи, мотоциклист должен догнать велосипедиста до его приезда на станцию. Это означает, что мотоциклист должен двигаться с большей скоростью, чем та, которую мы рассчитали.

Ответ: Скорость мотоциклиста должна быть больше 18 км/ч.

953. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его периметр не превосходит 46 см. Какова длина боковой стороны треугольника, если известно, что она выражается целым числом сантиметров?

Пусть $a$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а $b$ — длина его основания. Согласно условию задачи, $b = 20$ см.

Периметр $P$ равнобедренного треугольника вычисляется по формуле $P = 2a + b$. По условию, периметр не превосходит 46 см, что можно записать в виде неравенства: $P \le 46$

Подставим известные значения в это неравенство: $2a + 20 \le 46$

Решим полученное неравенство относительно $a$: $2a \le 46 - 20$ $2a \le 26$ $a \le 13$

Кроме того, для существования треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны. В случае равнобедренного треугольника наиболее важное условие — сумма длин двух боковых сторон должна быть больше длины основания: $a + a > b$ $2a > 20$ $a > 10$

Теперь у нас есть два условия для длины боковой стороны $a$: $a > 10$ и $a \le 13$. Объединим их в одно двойное неравенство: $10 < a \le 13$

В условии сказано, что длина боковой стороны выражается целым числом сантиметров. Найдем все целые числа, которые удовлетворяют неравенству $10 < a \le 13$. Такими числами являются 11, 12 и 13. Следовательно, длина боковой стороны может быть 11 см, 12 см или 13 см.

Ответ: 11 см, 12 см или 13 см.