Страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

937. Найдите пересечение и объединение:

а) множества целых чисел и множества положительных чисел;

б) множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел.

а)

Обозначим множество целых чисел как $Z$ и множество положительных чисел как $P$.
Множество целых чисел: $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
Множество положительных чисел (подразумеваются положительные действительные числа) можно записать как интервал $(0, +\infty)$, то есть $P = \{x \in \mathbb{R} | x > 0\}$.

Пересечение ($Z \cap P$):
Пересечением двух множеств является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам. В данном случае, это числа, которые являются одновременно и целыми, и положительными. Такими числами являются натуральные числа.
$Z \cap P = \{1, 2, 3, 4, ...\} = \mathbb{N}$.
Таким образом, пересечение — это множество натуральных чисел.

Объединение ($Z \cup P$):
Объединением двух множеств является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. В данном случае, это множество, которое включает в себя все целые числа и все положительные действительные числа.
$Z \cup P = \{..., -2, -1, 0\} \cup (0, +\infty)$.
Таким образом, объединение — это множество, состоящее из всех отрицательных целых чисел, нуля и всех положительных действительных чисел.

Ответ: Пересечение — множество натуральных чисел. Объединение — множество, состоящее из всех отрицательных целых чисел, нуля и всех положительных действительных чисел.

б)

Обозначим множество простых чисел как $A$ и множество нечётных натуральных чисел как $B$.
Множество простых чисел: $A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\}$. (Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя).
Множество нечётных натуральных чисел: $B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...\}$.

Пересечение ($A \cap B$):
Пересечением является множество чисел, которые одновременно являются и простыми, и нечётными. Единственное чётное простое число — это 2. Все остальные простые числа являются нечётными.
$A \cap B = \{3, 5, 7, 11, 13, ...\}$.
Таким образом, пересечение — это множество всех простых чисел, кроме числа 2 (или множество нечётных простых чисел).

Объединение ($A \cup B$):
Объединением является множество, которое содержит все простые числа и все нечётные натуральные числа. Это множество будет включать все нечётные натуральные числа (как простые, так и составные, а также число 1) и единственное чётное простое число — 2.
$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...\}$.
Таким образом, объединение — это множество всех нечётных натуральных чисел, дополненное числом 2.

Ответ: Пересечение — множество всех простых чисел, кроме 2. Объединение — множество всех нечётных натуральных чисел и число 2.

938. Является ли число $\sqrt{19}$ решением неравенства $x < 5$? Укажите какое-нибудь число, большее $\sqrt{19}$, удовлетворяющее этому неравенству.

Является ли число $\sqrt{19}$ решением неравенства $x < 5$?

Чтобы определить, является ли число $\sqrt{19}$ решением неравенства $x < 5$, необходимо сравнить значения $\sqrt{19}$ и 5. Так как оба числа являются положительными, мы можем сравнить их квадраты.

Возведем в квадрат левую и правую части предполагаемого неравенства $\sqrt{19} < 5$:

$(\sqrt{19})^2 = 19$

$5^2 = 25$

Поскольку $19 < 25$, то и исходное неравенство $\sqrt{19} < 5$ является верным. Следовательно, число $\sqrt{19}$ является решением неравенства $x < 5$.

Ответ: да, является.

Укажите какое-нибудь число, большее $\sqrt{19}$, удовлетворяющее этому неравенству.

Нам необходимо найти такое число $y$, которое удовлетворяет двойному неравенству: $\sqrt{19} < y < 5$.

Представим число 5 в виде корня: $5 = \sqrt{25}$. Теперь неравенство можно записать так: $\sqrt{19} < y < \sqrt{25}$.

В качестве $y$ можно взять квадратный корень из любого числа, которое больше 19 и меньше 25. Например, возьмем число 20. Оно удовлетворяет условию $19 < 20 < 25$. Тогда $\sqrt{20}$ будет удовлетворять нашему неравенству: $\sqrt{19} < \sqrt{20} < \sqrt{25}$.

Таким образом, число $\sqrt{20}$ больше $\sqrt{19}$ и меньше 5, что и требовалось. Другими возможными примерами могут быть числа $\sqrt{21}$, $\sqrt{22}$, $\sqrt{23}$, $\sqrt{24}$ или, например, десятичная дробь 4,5, так как $4,5^2 = 20,25$, и $19 < 20,25 < 25$.

Ответ: например, $\sqrt{20}$.

939. Является ли число $\sqrt{11}$ решением неравенства $x > 3$? Укажите какое-либо число, меньшее $\sqrt{11}$, удовлетворяющее этому неравенству.

Является ли число $\sqrt{11}$ решением неравенства $x > 3$?

Чтобы проверить, является ли число $\sqrt{11}$ решением неравенства $x > 3$, необходимо подставить его вместо $x$ и проверить, будет ли полученное неравенство верным. То есть, нам нужно сравнить числа $\sqrt{11}$ и $3$.

Так как оба числа являются положительными, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом не изменится.

Возведем в квадрат левую и правую части предполагаемого неравенства $\sqrt{11} > 3$:

$(\sqrt{11})^2 = 11$

$3^2 = 9$

Теперь сравним полученные результаты: $11$ и $9$.

Поскольку $11 > 9$, то и исходное неравенство $\sqrt{11} > 3$ является верным.

Следовательно, число $\sqrt{11}$ является решением неравенства $x > 3$.

Ответ: да, является.

Укажите какое-либо число, меньшее $\sqrt{11}$, удовлетворяющее этому неравенству.

Нам необходимо найти число, обозначим его $y$, которое удовлетворяет двум условиям одновременно:

1. Оно должно быть меньше $\sqrt{11}$, то есть $y < \sqrt{11}$.
2. Оно должно удовлетворять неравенству $x > 3$, то есть $y > 3$.

Таким образом, мы ищем любое число $y$, для которого выполняется двойное неравенство: $3 < y < \sqrt{11}$.

Мы знаем, что $3 = \sqrt{9}$, поэтому неравенство можно записать как $\sqrt{9} < y < \sqrt{11}$.

Можно выбрать десятичную дробь. Найдем приближенное значение $\sqrt{11}$. Мы знаем, что $3^2=9$ и $4^2=16$, значит $\sqrt{11}$ находится между 3 и 4. Проверим число 3,1:

$3,1^2 = 9,61$.

Так как $9 < 9,61 < 11$, то и $\sqrt{9} < \sqrt{9,61} < \sqrt{11}$, что равносильно $3 < 3,1 < \sqrt{11}$.

Это означает, что число $3,1$ больше $3$ и меньше $\sqrt{11}$, следовательно, оно удовлетворяет всем условиям задачи. В качестве примера можно привести любое число из интервала $(3; \sqrt{11})$, например, 3,2 или $\sqrt{10}$.

Ответ: 3,1.

940. Решите неравенство:

а) $0,01(1 - 3x) > 0,02x + 3,01;$

б) $12(1 - 12x) + 100x > 36 - 49x;$

в) $(0,6y - 1) - 0,2(3y + 1) < 5y - 4;$

г) $\frac{2}{3}(6x + 4) - \frac{1}{6}(12x - 5) \le 4 - 6x;$

д) $(3a + 1)(a - 1) - 3a^2 > 6a + 7;$

е) $15x^2 - (5x - 2)(3x + 1) < 7x - 8.$

а) $0,01(1 - 3x) > 0,02x + 3,01$

Для удобства вычислений умножим обе части неравенства на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$100 \cdot 0,01(1 - 3x) > 100 \cdot (0,02x + 3,01)$

$1(1 - 3x) > 2x + 301$

Раскроем скобки:

$1 - 3x > 2x + 301$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$-3x - 2x > 301 - 1$

$-5x > 300$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{300}{-5}$

$x < -60$

Решением является интервал $(-\infty; -60)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -60)$.

б) $12(1 - 12x) + 100x > 36 - 49x$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$12 - 144x + 100x > 36 - 49x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$12 - 44x > 36 - 49x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$-44x + 49x > 36 - 12$

$5x > 24$

Разделим обе части на 5:

$x > \frac{24}{5}$

$x > 4,8$

Решением является интервал $(4,8; +\infty)$.

Ответ: $x \in (4,8; +\infty)$.

в) $(0,6y - 1) - 0,2(3y + 1) < 5y - 4$

Раскроем скобки:

$0,6y - 1 - 0,2 \cdot 3y - 0,2 \cdot 1 < 5y - 4$

$0,6y - 1 - 0,6y - 0,2 < 5y - 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(0,6y - 0,6y) + (-1 - 0,2) < 5y - 4$

$-1,2 < 5y - 4$

Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а числа — в левую, чтобы коэффициент при $y$ был положительным:

$-1,2 + 4 < 5y$

$2,8 < 5y$

Разделим обе части на 5:

$\frac{2,8}{5} < y$

$0,56 < y$

Или $y > 0,56$. Решением является интервал $(0,56; +\infty)$.

Ответ: $y \in (0,56; +\infty)$.

г) $\frac{2}{3}(6x + 4) - \frac{1}{6}(12x - 5) \le 4 - 6x$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot \frac{2}{3}(6x + 4) - 6 \cdot \frac{1}{6}(12x - 5) \le 6 \cdot (4 - 6x)$

$4(6x + 4) - 1(12x - 5) \le 24 - 36x$

Раскроем скобки:

$24x + 16 - 12x + 5 \le 24 - 36x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$12x + 21 \le 24 - 36x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$12x + 36x \le 24 - 21$

$48x \le 3$

Разделим обе части на 48:

$x \le \frac{3}{48}$

Сократим дробь:

$x \le \frac{1}{16}$

Решением является интервал $(-\infty; \frac{1}{16}]$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{16}]$.

д) $(3a + 1)(a - 1) - 3a^2 > 6a + 7$

Раскроем скобки в левой части:

$(3a^2 - 3a + a - 1) - 3a^2 > 6a + 7$

$3a^2 - 2a - 1 - 3a^2 > 6a + 7$

Приведем подобные слагаемые:

$-2a - 1 > 6a + 7$

Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а числа — в правую:

$-2a - 6a > 7 + 1$

$-8a > 8$

Разделим обе части на -8, изменив знак неравенства на противоположный:

$a < \frac{8}{-8}$

$a < -1$

Решением является интервал $(-\infty; -1)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1)$.

е) $15x^2 - (5x - 2)(3x + 1) < 7x - 8$

Раскроем скобки произведения $(5x - 2)(3x + 1)$:

$(5x - 2)(3x + 1) = 15x^2 + 5x - 6x - 2 = 15x^2 - x - 2$

Подставим результат в исходное неравенство:

$15x^2 - (15x^2 - x - 2) < 7x - 8$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$15x^2 - 15x^2 + x + 2 < 7x - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 2 < 7x - 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$2 + 8 < 7x - x$

$10 < 6x$

Разделим обе части на 6:

$\frac{10}{6} < x$

Сократим дробь:

$\frac{5}{3} < x$

Или $x > \frac{5}{3}$. Решением является интервал $(\frac{5}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{5}{3}; +\infty)$.

941. При каких значениях a верно неравенство:

а) $ \frac{a-1}{4}-1>\frac{a+1}{3}+8; $

б) $ \frac{3a-1}{2}-\frac{a-1}{4}>0; $

в) $ \frac{1-2a}{4}-2<\frac{1-5a}{8}; $

г) $ \frac{5a}{6}-\frac{3a-1}{3}+\frac{2a-1}{2}<1? $

а)

Решим неравенство $ \frac{a-1}{4} - 1 > \frac{a+1}{3} + 8 $.

Сначала приведем обе части неравенства к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12. Умножим обе части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей:

$ 12 \cdot (\frac{a-1}{4} - 1) > 12 \cdot (\frac{a+1}{3} + 8) $

$ \frac{12(a-1)}{4} - 12 \cdot 1 > \frac{12(a+1)}{3} + 12 \cdot 8 $

$ 3(a-1) - 12 > 4(a+1) + 96 $

Раскроем скобки:

$ 3a - 3 - 12 > 4a + 4 + 96 $

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$ 3a - 15 > 4a + 100 $

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $a$, в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$ 3a - 4a > 100 + 15 $

$ -a > 115 $

Умножим обе части на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$ a < -115 $

Ответ: $ a \in (-\infty; -115) $.

б)

Решим неравенство $ \frac{3a-1}{2} - \frac{a-1}{4} > 0 $.

Найдем наименьший общий знаменатель для 2 и 4, который равен 4. Умножим обе части неравенства на 4:

$ 4 \cdot (\frac{3a-1}{2} - \frac{a-1}{4}) > 4 \cdot 0 $

$ \frac{4(3a-1)}{2} - \frac{4(a-1)}{4} > 0 $

$ 2(3a-1) - (a-1) > 0 $

Раскроем скобки:

$ 6a - 2 - a + 1 > 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 5a - 1 > 0 $

Перенесем числовое слагаемое в правую часть:

$ 5a > 1 $

Разделим обе части на 5:

$ a > \frac{1}{5} $

Ответ: $ a \in (\frac{1}{5}; +\infty) $.

в)

Решим неравенство $ \frac{1-2a}{4} - 2 < \frac{1-5a}{8} $.

Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 равен 8. Умножим обе части неравенства на 8:

$ 8 \cdot (\frac{1-2a}{4} - 2) < 8 \cdot (\frac{1-5a}{8}) $

$ \frac{8(1-2a)}{4} - 8 \cdot 2 < 1-5a $

$ 2(1-2a) - 16 < 1-5a $

Раскроем скобки:

$ 2 - 4a - 16 < 1 - 5a $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ -4a - 14 < 1 - 5a $

Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а числа — в правую:

$ -4a + 5a < 1 + 14 $

$ a < 15 $

Ответ: $ a \in (-\infty; 15) $.

г)

Решим неравенство $ \frac{5a}{6} - \frac{3a-1}{3} + \frac{2a-1}{2} < 1 $.

Наименьший общий знаменатель для 6, 3 и 2 равен 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$ 6 \cdot (\frac{5a}{6} - \frac{3a-1}{3} + \frac{2a-1}{2}) < 6 \cdot 1 $

$ \frac{6 \cdot 5a}{6} - \frac{6(3a-1)}{3} + \frac{6(2a-1)}{2} < 6 $

$ 5a - 2(3a-1) + 3(2a-1) < 6 $

Раскроем скобки:

$ 5a - 6a + 2 + 6a - 3 < 6 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (5a - 6a + 6a) + (2 - 3) < 6 $

$ 5a - 1 < 6 $

Перенесем числовое слагаемое в правую часть:

$ 5a < 6 + 1 $

$ 5a < 7 $

Разделим обе части на 5:

$ a < \frac{7}{5} $

Ответ: $ a \in (-\infty; \frac{7}{5}) $.

942. Решите неравенство:

а) $\frac{x - 0,5}{4} + \frac{x - 0,25}{4} + \frac{x - 0,125}{8} < 0;$

б) $\frac{5 - x}{3} - \frac{1 - x}{2} > 1.$

а)

Дано неравенство:

$\frac{x - 0,5}{4} + \frac{x - 0,25}{4} + \frac{x - 0,125}{8} < 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который для чисел 4 и 8 равен 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$8 \cdot \left( \frac{x - 0,5}{4} + \frac{x - 0,25}{4} + \frac{x - 0,125}{8} \right) < 8 \cdot 0$

$2(x - 0,5) + 2(x - 0,25) + (x - 0,125) < 0$

Раскроем скобки:

$2x - 1 + 2x - 0,5 + x - 0,125 < 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2x + 2x + x) + (-1 - 0,5 - 0,125) < 0$

$5x - 1,625 < 0$

Перенесем свободный член в правую часть, изменив его знак:

$5x < 1,625$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x < \frac{1,625}{5}$

$x < 0,325$

Ответ: $x < 0,325$.

б)

Дано неравенство:

$\frac{5 - x}{3} - \frac{1 - x}{2} > 1$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, равный 6. Знак неравенства при умножении на положительное число 6 не меняется.

$6 \cdot \left( \frac{5 - x}{3} - \frac{1 - x}{2} \right) > 6 \cdot 1$

$2(5 - x) - 3(1 - x) > 6$

Раскроем скобки. Обратим внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус.

$10 - 2x - 3 + 3x > 6$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-2x + 3x) + (10 - 3) > 6$

$x + 7 > 6$

Перенесем 7 в правую часть с противоположным знаком:

$x > 6 - 7$

$x > -1$

Ответ: $x > -1$.

943. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству:

a) $3(5-4x) + 2(14+x) > 0$;

б) $(x+1)(x-1) - (x^2 - 3x) \le 14.$

a) $3(5-4x)+2(14+x) > 0$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$3 \cdot 5 - 3 \cdot 4x + 2 \cdot 14 + 2 \cdot x > 0$

$15 - 12x + 28 + 2x > 0$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав числа и слагаемые с переменной $x$:

$(15 + 28) + (-12x + 2x) > 0$

$43 - 10x > 0$

Перенесем 43 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$-10x > -43$

Разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с ">" на "<"):

$x < \frac{-43}{-10}$

$x < 4.3$

Согласно условию задачи, необходимо найти все натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Искомые числа — это те натуральные числа, которые меньше 4.3.

Это числа: 1, 2, 3, 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

б) $(x+1)(x-1) - (x^2-3x) \le 14$

Раскроем скобки в левой части неравенства. Выражение $(x+1)(x-1)$ является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(x^2 - 1^2) - (x^2 - 3x) \le 14$

$(x^2 - 1) - x^2 + 3x \le 14$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + 3x - 1 \le 14$

$0 + 3x - 1 \le 14$

$3x - 1 \le 14$

Перенесем -1 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$3x \le 14 + 1$

$3x \le 15$

Разделим обе части неравенства на 3 (знак неравенства не меняется, так как 3 — положительное число):

$x \le \frac{15}{3}$

$x \le 5$

Нам нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству. Это натуральные числа, которые меньше или равны 5.

Это числа: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

944. При каких значениях x:

a) значение дроби $ \frac{3x-8}{12} $ больше соответствующего значения дроби $ \frac{x-1}{4} $;

б) значение дроби $ \frac{x+1}{3} $ меньше соответствующего значения дроби $ \frac{2x+3}{6} $?

а)

Чтобы найти значения $x$, при которых значение дроби $ \frac{3x-8}{12} $ больше соответствующего значения дроби $ \frac{x-1}{4} $, составим и решим неравенство:

$ \frac{3x-8}{12} > \frac{x-1}{4} $

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 12. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$ 12 \cdot \frac{3x-8}{12} > 12 \cdot \frac{x-1}{4} $

$ 3x-8 > 3(x-1) $

Теперь раскроем скобки в правой части неравенства:

$ 3x-8 > 3x-3 $

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.

$ 3x - 3x > -3 + 8 $

$ 0 > 5 $

Мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Чтобы найти значения $x$, при которых значение дроби $ \frac{x+1}{3} $ меньше соответствующего значения дроби $ \frac{2x+3}{6} $, составим и решим неравенство:

$ \frac{x+1}{3} < \frac{2x+3}{6} $

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6. Знак неравенства при этом не изменится.

$ 6 \cdot \frac{x+1}{3} < 6 \cdot \frac{2x+3}{6} $

$ 2(x+1) < 2x+3 $

Раскроем скобки в левой части:

$ 2x+2 < 2x+3 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую.

$ 2x - 2x < 3 - 2 $

$ 0 < 1 $

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x$ — любое число.